Bashkësitë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

  • Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.:
  • Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.:

Bashkësitë numerike[redakto | redakto tekstin burimor]

Bashkësia e numrave natyral:

Bashkësia e numrave të plotë:

Bashkësia e numrave racional:

Bashkësia e numrave real:

Bashkësia e numrave kompleks:

Bashkësia e numrave çift: ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: ={1,3,5,7,9,...}

Veprimet me bashkësi[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive dhe quhet bashkësia e cila i përmban elementet e dhe

figura.

  • Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive dhe quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive dhe

figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

  1. Ligji i indempotencës

  1. Ligji i kumutativ

  1. Ligji asociativ

  1. Ligji distribtiv
  1. Ligji distribtiv
  • Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive dhe quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë që nuk i takojnë bashkësisë

figura.

  • Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive dhe quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive dhe

figura.

Relacionet[redakto | redakto tekstin burimor]

Nëse me shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të -së, atëherë për themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian :
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët vlenë relacioni i cili ka vetitë dhe atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë.

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët nga relacioni binar rrjedhë atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët nga relacionet binare dhe rrjedhë atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë i cili në bashkësinë është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

Relacioni i renditjes është relacioni binarë i cili në bashkësinë është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë në bashkësinë është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian i bashkësive jo të zbrazëta dhe . Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen :

Pasqyrimet[redakto | redakto tekstin burimor]

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë quhet relacioni ndërmjet dy bashkësive dhe , i cili ka këtë veti :

Elementet e bashkësisë që pasqyrohen në bashkësinë janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me por me etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

  • Shënimi simbolik i pasqyrimit

ose

  • Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore


  • Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin vlen që ç´do element i dhe ekziston një elementë i tillë që :

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers të pasqyrimit .
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers zakonisht shënohet si : Për pasqyrimin themi se është kodomen i domenit dhe në të njëjtën kohë domeni është kodomen i .
Figura:

  • Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit të bashkësisë i përgjigjet (ekziston së paku një) element i bashkësisë , i tillë që në bashkësinë ekziston së paku një element i cili i përgjigjet .Në gjuhen matematikore kjo duket si :

Veprimet binare[redakto | redakto tekstin burimor]

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

Ligjet e veprimeve binare[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ligji komutativ është nëse vlen:
  2. ligji asociativ është nëse vlen:
  3. ligji distributiv është nëse vlen:
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët është i përkufizuar veprimi binar atëherë për themi se është grupoid.
  • Po që se veprimi binarë grupoidit është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ekziston një element me vetinë:

,atëherë për themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupet[redakto | redakto tekstin burimor]

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

  1. është grup abelian,
  2. është grupoid dhe
  3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
  • Trupi

Trup quhet unaza asociative nëse është grup, ku .

  • Fusha

Fushë quhet trupi nëse shumëzimi është kumutativ.

Simbolet matematikore[redakto | redakto tekstin burimor]

P