Devijimi standard

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikës, devijimi standard është masa e variacionit ose shpërhapjes së të dhënave, apo shpërndarjes së probabilitetit. Devijimi standart i ulët do të thotë se pikat e të dhënave janë të grupuara shumë afër të njëjtës vlerë (mesatare), ndërsa devijimi standard i lartë nënkupton se të dhënat janë të vendosura në një grup më të madh vlerash.

Për shembull, lartësi mesatare për të moshuarit në SHBA është rreth 178 cm si devijim standard është rreth 8 cm. Kjo do të thotë që shumica e njerëzve (rreth 68%, duke marrë shpërndarje normale) të ketë një gamë lartësie me ndryshim deri në 8 cm nga do të thotë ( dmth në varg 170-186 cm), ndërkohë që pothuajse të gjithë njerëzit (rreth 95%) kanë një lartësi brenda devijimit me 15 cm pra ndërmjet (163-193 cm). Nëse devijimi standard është zero, atëherë lartësia e të gjithë njerëzve do të ishte pikërisht 178 cm. Nëse devijimi standart është 51 cm, kjo do të thotë se popullsia do të kenë lartësi të ndryshme, të shpërndara në varg prej rreth 127-229 cm.

Njehsimi matematikor

Llogaritja mund të thjeshtohet si më poshtë:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}.\end{aligned}}

që është, duke përdorur të gjitha formulat origjinale:

\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-{\overline {x}}^{2}}}.

Që nga termi i parë nën rrënjë mund të shihen si vlera e pritur e x në katror, më shpesh shkruhet:

\sigma ^{2}=\mathbb {E} [x^{2}]-(\mathbb {E} [x])^{2}

Shembull

Supozojmë se e gjithë popullata përbëhet nga 8 studentë të një klase. Për një bashkësi të fundme numrash, devijimi standard llogaritet duke marrë rrënjën katrore të mesatares së ndryshesës mes vlerave dhe mesatares, kjo ndryshesë e ngritur në katror. Notat e një klase të tillë jepen si më poshtë:

$2,4,4,4,5,5,7,9$

Këto 8 numra e kanë mesataren:

$\mu ={\frac {(2+4+4+4+5+5+7+9)}{8}}={\frac {40}{8}}=5$

Fillimisht llogarisni devijimet e secilës të dhënë nga mesatarja dhe ngrijeni në katror rezultatin e secilës:

$(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9\qquad (5-5)^{2}=0^{2}=0$

$(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1\qquad (5-5)^{2}=0^{2}=0$

$(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1\qquad (7-5)^{2}=2^{2}=4$

$(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1\qquad (9-5)^{2}=4^{2}=16$

Varianca e mesatares së këtyre vlerave është:

$\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4$

Dhe devijimi standard i popullatës është i barabartë me rrënjën katrore të variancës:

Kjo formulë është e vlefshme vetëm nëse 8 vlerat janë e gjithë popullata. Nëse vlerat janë një zjgedhje e marrë nga një popullatë e gjerë (psh 8 studentë nga 1000 të tillë), atëherë duhet pjesëtuar me 7 ( e cila është n-1) në vend të 8 (e cila është n) i cili është emëruesi i formulës së përdorur dhe rezultati do të ishte $s={\sqrt {\frac {32}{7}}}\approx 2.1$

Shiko edhe