Ekuacioni i shkallës së katërt

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Grafiku i polinomit të shkallës së katërt, me tre pika kritike.

Funksioni i trajtës

Ku a është e ndryshme nga 0 me fjalë tjera polinomi i shkallës së katërt nëse barazohet me 0 atëherë fitohet ekuacioni i shkallës së katërt

ku a ≠ 0.

Histori[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacionet e shkallës së katërt për herë të parë janë shqyrtuar në Indi. Italiani Lodovico Ferrari për herë të parë i dha zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së katërt në vitin 1540, por pasi kjo zgjidhje kërkon që më parë të dihet zgjidhja e ekuacionit të shkallës së tretë të cilin e gjeti mentori i tij Gerolamo Cardano këto zgjidhje u botuan më vonë së bashku, në librin Ars Magna në vitin (1545).

Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficient real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin 1824.

Zgjidhja e ekuacionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Le të jetë dhënë ekuacioni

nëse atëherë , kështtuqë zero është një rrënjë. Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjesëtojmë me dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,

është e qartë se rrënjët e tij janë 1, −1 dhe −k

nëse atëherë , pra është rrënjë. Ngjajshëm nëse atëherë, pra është rrënjë.

Kur është rrënjë ne pjesëtojmë me dhe fitojmë

ku është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet. Ngjashëm nëse është rrënjë,

ku është polinom i shkallës së tretë.

Nëse atëherë −k është rrënjë atëherë e faktorizojmë ,

dhe nëse atëherë rrënjë janë dhe Tani faktorizojmë atëherë fitojmë

Përr të gjetur rrënjët tjera të Q ne e zgjidhim barazimin kuadratik.

Ekuacioni bikuadratik

Nëse atëherë

ky lloj ekuacioni zgjidhet shumë lehtë.

Le të jetë atëherë Q bëhet kuadratik sipas

Le të jetë dhe rrënjët e q. atëherë rrënjët e Q janë

Ekuacioni kuazisimetrik

Hapat e zgjidhjes:

1) Pjestojmë me x 2.

2) fusim ndryshoren z = x + m/x.

Rasti i përgjithshëm

Në fillim e bëjmë reduktimin e rastit të përgjithshëm Le të jetë

forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me A,

Në fillim e eliminojmë termin x3. e ndryshojmë variablën nga xu, ashtuqë

.

atëherë

zhvillojmë fuqitë e binomeve

dhe i grupojmë antarët pranë fuqive të njejta të u dhe fitojmë se

Tani i riemërojmë koeficientet e u. Le të jetë

dhe fitojmë ekuacionin

i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.

Nëse atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.

Nëse atëherë njëra nga rrënjët është dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me , dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë

nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas .

Zgjidhja sipas Ferrarit[redakto | redakto tekstin burimor]