Formula integrale e Cauchy

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

Në matematikë, formula integrale e Koshisë, e emërtuar sipas Augustin-Louis Cauchy, është një pohim qendror në analizën komplekse . Ai shpreh faktin se një funksion holomorfik i përkufizuar në një disk përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në kufirin e diskut dhe ofron formula integrale për të gjithë derivatet e një funksioni holomorfik. Formula e Koshisë tregon se, në analizën komplekse, "diferencimi është i barabartë me integrimin": diferencimi kompleks, si integrimi, sillet mirë nën kufij uniformë – një rezultat që nuk vlen në analizën reale .

Teorema[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë U një nëngrup i hapur i rrafshit kompleks C, dhe supozojmë diskun e mbyllur D të përcaktuar si

është përmbahet plotësisht në U . Le të jetë f : U → C të jetë një funksion holomorfik, dhe le të jetë γ rrethi, i orientuar në të kundërt të akrepave të orës, duke formuar kufirin e D . Pastaj për çdo abshisë a në brendësi të diskut D,

Vërtetimi i këtij pohimi bëhet me anë të teoremës integrale të Koshisë dhe ashtu si ajo teoremë, kërkon vetëm që të jetë i diferencueshëm nën numrat kompleksë. Meqenëse mund të zgjerohet si një seri fuqie në ndryshoren

rrjedh se funksionet holomorfike janë analitike, pra mund të zgjerohen si seri konvergjente fuqish. Në veçanti është në fakt pafundësisht i diferencueshëm, me

Kjo formulë nganjëherë quhet formula e diferencimit të Koshisë .

Shembull[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Sipërfaqja e pjesës reale të funksionit dhe polet e tij me konturet e përshkruara në tekst.

Konsiderohet funksioni i ndryshores komplekse

dhe le të jetë C konturi i përshkruar nga (rrethi me rreze 2).

Për të gjetur integralin e rreth konturit , duhet të dimë singularitetet e . Vini re se ne mund ta rishkruajmë g si më poshtë:

ku dhe .

Kështu, funksioni g ka pole në . Modulet e këtyre pikave janë më pak se 2 dhe kështu shtrihen brenda konturit. Ky integral mund të ndahet në dy integrale më të vogla nga teorema Cauchy–Goursat ; domethënë, ne mund ta shprehim integralin rreth konturit si shumën e integralit rreth pikave dhe ku konturi është një rreth i vogël rreth çdo poli. Quajini këto konture rreth dhe rreth .

Tani, secili prej këtyre integraleve më të vogla mund të vlerësohet me formulën integrale të Cauchy, por ato së pari duhet të rishkruhen për të zbatuar teoremën. Për integralin rreth , përkufizohet si . Kjo është analitike (pasi konturi nuk përmban pol tjetër). Mund ta thjeshtojmë që të jetë:

dhe tani

Meqenëse formula integrale e Koshisë thotë se:

ne mund ta vlerësojmë integralin si më poshtë:

Duke bërë të njëjtën gjë për konturin tjetër:

vlerësojmë

Atëherë integrali rreth konturit origjinal C është shuma e këtyre dy integraleve:

Një manipulim elementar duke përdorur zbërthimin e pjesshëm të thyesave :