Funksioni i sheshtë

Funksioni $y(x\neq 0)=e^{-1/x^{2}},$$y(0)=0$ është e sheshtë në $x=0$ .

Në matematikë, veçanërisht në analizën reale, një funksion i sheshtë është një funksion i lëmuar $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ të gjitha derivatet e të cilit zhduken në një pikë të caktuar $x_{0}\in \mathbb {R}$ . Funksionet e sheshta janë, në një farë mënyre, antiteza e funksioneve analitike . Një funksion analitik $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jepet nga një seri fuqie konvergjente në afërsi të një pike $x_{0}\in \mathbb {R}$ :

$f(x)\sim \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}.$

Në rastin e një funksioni të sheshtë, të gjitha derivatet zhduken në $x_{0}\in \mathbb {R}$, dmth $f^{(k)}(x_{0})=0$ per te gjithe $k\in \mathbb {N}$ . Kjo do të thotë se një zgjerim kuptimplotë i serisë së Tejlorit në një zonë rrethuese të $x_{0}$ është i pamundur. Në gjuhën e teoremës së Tejlorit, pjesa jokonstante e funksionit qëndron gjithmonë në pjesën e mbetur. $R_{n}(x)$ per te gjithe $n\in \mathbb {N}$ .

Shembull

Funksioni i përcaktuar nga

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$

është i sheshtë në $x=0$ . Kështu, ky është një shembull i një funksioni të lëmuar jo-analitik . Natyra patologjike e këtij shembulli zbulohet pjesërisht nga fakti se zgjatimi i tij në numrat kompleksë, në fakt, nuk është i diferencueshëm .