Heliksi

Spiralja e djathtë (cos t, sin t, t ) për 0 ≤ t ≤ 4 π me majat e shigjetave që tregojnë drejtimin e rritjes së ndryshores t

Një heliks është një formë si një heqëse tapash ose shkallë spirale . Është një lloj lakore e hapësirës së lëmuar me vija tangjente në një kënd konstant ndaj një boshti fiks. Spiralet janë të rëndësishme në biologji, pasi molekula e ADN-së formohet si dy spirale të ndërthurura, dhe shumë proteina kanë nënstruktura spirale, të njohura si spirale alfa . Fjala heliks vjen nga fjala greke ἕλιξ , "i përdredhur, i lakuar". Një spirale "e mbushur" - për shembull, një rampë "spiral" (spiral) - është një sipërfaqe e quajtur helikoid .

Përshkrimi matematikor

Një spirale e përbërë nga përbërës sinusoidalë x dhe y

Në matematikë, një spirale është një kurbë në hapësirën 3- dimensionale . Parametrimi i mëposhtëm në koordinatat karteziane përcakton një spirale të veçantë; ekuacionet më të thjeshta parametrike për një spirale janë:

${\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}$

Ndërsa parametri $t$ rritet, pika ($x(t),y(t),z(t)$) gjurmon një spirale të djathtë me hap 2π (ose pjerrësi 1) dhe rreze 1 rreth boshtit $z$, në një sistem koordinativ të dorës së djathtë.

Në koordinatat cilindrike ($r,\theta ,h$ ), e njëjta spirale është e parametrizuar nga:

${\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}$

Një mënyrë tjetër për të ndërtuar matematikisht një spirale është të vizatojmë funksionin me vlera komplekse $e^{xi}$ si funksion të numrit real $x$ (shih formulën e Euler-it ). Vlera e $x$-it dhe pjesët reale dhe imagjinare të vlerës së funksionit i japin këtij grafiku tre dimensione reale.

Gjatësia e harkut, lakimi dhe torsioni

Një spirale rrethore me rreze a dhe pjerrësi a/b shprehet në koordinata karteziane si:

$t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]$

ka një gjatësi harku prej

$A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

një lakim të dhënë nga

${\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},$

dhe një torsion:

${\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.$

Një heliks është funksioni me vlera vektoriale

$${\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}$$

Pra, një spirale mund të riparametrizohet në funksion të $s$, e cila duhet të jetë shpejtësia njësi:

$$\mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$$

Vektori tangjent njësi është

$${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$$

Vektori normal është

$${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$$

Kurbatura (lakimi) e saj është

$$\kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}$$

Vektori normal i njësisë është

$$\mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$$

Vektori binormal është

$${\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}$$

Torsioni i tij është

$$\tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.$$