Hipoteza e Riemannit

Pjesa reale (me të kuqe) dhe pjesa imagjinare (në blu) e funksionit zeta të Riemannit përgjatë vijës kritike Re(s) = 1/2. Zeroja apo rrënja e parë jotriviale merret për Im(s) = ±14.135, ±21.022 dhe për ±25.011.

Hipoteza e Riemannit, u formulua nga matematikani gjerman Bernhard Riemann Stampa:Harvs, flet për shpërndarjen e rrënjëve të funksionit zeta të Riemannit dhe thotë se të gjitha zerot apo rrënjët jotriviale të saj pjesën reale e kanë të barabartë me 1/2.

Nga hipoteza e Riemannit rrjedhin edhe disa rezultate për shpërndarjn e numrave të thjeshtë. Me disa përgjithësime ajo konsiderohet nga shumë matematikanë problemi më i rëndësishëm i cili ka mbetur i pazgjidhur në matematikë (Bombieri 2000).

Funksioni zeta ζ(s) është i përkufizuar për të gjithë numrat kompleks s ≠ 1. Ai është 0 për të gjithë numrat e plotë çift (P.sh për s = −2, s = −4, s = −6, ...). Këto quhen edhe zero triviale. Hipoteza e Riemannit flet për zerot jotriviale ajo tregon se:

Pjesa reale e të gjitha zerove jotriviale të funksionit zeta është e barabartë me ½.

Kjo do të thotë se të gjitha zerot jotriviale shtrihen në të ashtuquajturën vijë kritike, ½ + it, ku t është pjesa imagjinare dhe i është njësia imagjinare.

Hipoteza e Riemannit njihet edhe si Problemi i tetë i Hilbertit(shih David Hilbert), kjo hipotezë është njëri nga gjashtë problemet e mileniumit për të cilin instituti amerikan Clay Mathematics Institute ofron shpërblimin prej 1 milion dollarësh për atë që e zgjidh këtë problem. Prej kur është formuluar ka tërhjekur vërejtjen e shumë matematikanëve. Në vitin 1973, Pierre Deligne vërtetoi se hipoteza e Riemannit është e vërtetë mbi fushat e fundme. Versioni i plotë i teoremës edhe sot mbetet i pazgjidhur edhepse llogaritjet me kompjuterë të fuqishëm i kanë gjetur 10 trillion zerot e para të cilat shtrihen në linjën kritike.

Funksioni zeta i Riemannit

Ky funksion për të gjithë numrat kompleks s pjesa reale e të cilëve është më e madhe se 1 jepet me formulën

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .\!$

Leonhard Euleri tregoi se ai është ekuivalent me prodhimin e Eulerit

$\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots$

këtu prodhimi i pafundëm merret sipas të gjithë numrave të thjeshtë p, dhe është konvergjent për numrin kompleks s pjesa reale e të cilëve është më e madhe se 1. Konvergjenca e prodhimit të Eulerit tregon se funksioni ζ(s) nuk ka asnjë zero në këtë regjion sepse të gjithë faktorët janë të ndryshëm nga 0.

Hipoteza e Riemannit flet për zerot jashtë regjionit të konvergjencës të kësaj serie prandaj duhet të bëhet zgjërimi analitik i këtij funksioni për të gjithë numrat kompleks s. Kjo mund të bëhet kur këtë funksion e shprehim me terma të funksionit eta të Dirichlet si në vazhdim. Nëse s është numër kompleks i cili pjesën reale e ka pozitive atëherë funksioni zeta i plotëson kushtet

$\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots \!$

ku seria në anën e djathtë konvergjon sa herë s ka një pjesë reale më të vogël se 1 dhe konvergjon shumë ngadalë. Prandaj seria alternative e zgjëron funksionin zeta nga Re(s) > 1 deri te domeni Re(s) > 0.

Në rrypin 0 < Re(s) < 1 funksioni zeta e plotëson ekuacionin funksional

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!.$

Tani mundemi ta përkufizojmë funksionin ζ(s) për të githë numrat kompleks jo zero s duke supozuar se ky barazim plotësohet jashtë rrypit, Le të jetë ζ(s) i barabartë me anën e djathtë të ekuacionit pasi s pjesën reale e ka jopozitive. Nëse s është numër i trajtes -2n atëherë ζ(s) = 0 pasiqë faktori sin(πs/2) anulohet; këta janë zero triviale të funksionit teta. (Nëse s është numër iplotë çift dhe pozitiv ky argumentim nuk vlen sepse zerot e sinusit thjeshtohen në polet e funksionit gama.) Vlerat ζ(0) = -1/2 nuk mund të përcaktohen nga ekuacioni funksional por vlerat kufitare të ζ(s) kur s i afrohet zeros. Nga ekuacioni funksional gjithashtu rrjedh se nuk ka zero tjera përveç zerove triviale me pjesë reale negative kjo do të thotë se të gjitha zerot jotrivale shtrihen në rrypin kritik ku numri kompleks s pjesën reale e një numër që ndodhet ndërmjet 0 dhe 1.

Disa nga librat që i dedikohen kësaj hipoteze janë: Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003). The books Edwards (1974), Patterson (1988) and Borwein et al. (2008) hyrje matematikore për problemin, përderisa Titchmarsh (1986) është një monografi e avancuar.