Identiteti i Hajnesit

Në analizën matematikore, identiteti i Hajnesit, i quajtur pas Heinrich Eduard Heine është një zgjerim Furier i një rrënjë katrore reciproke të cilën Hajnesi e paraqiti si$${\frac {1}{\sqrt {z-\cos \psi }}}={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }Q_{m-{\frac {1}{2}}}(z)e^{im\psi }$$ku $Q_{m-{\frac {1}{2}}}$ është një funksion i Lezhandrit i llojit të dytë, i cili ka shkallë, $m-1/2$ , një gjysmë numër i plotë dhe argumenti, $z$, real dhe më i madh se një. Kjo shprehje mund të përgjithësohet për fuqi arbitrare gjysmë të plotë si më poshtë$$(z-\cos \psi )^{n-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(z^{2}-1)^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-n)}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m+n+{\frac {1}{2}})}}Q_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(z)e^{im\psi },$$ku $\scriptstyle \,\Gamma$ është funksioni Gama .