Integralet jo te vete

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search

Integralet jo të vetë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Integrali i f(x) nga a në b është syprina sipër aksit x poshtë lakores y = f(x), minus syprinën poshtë aksit x dhe sipër lakores, për x në intervalin [a,b].

Në përkufizimin e integralit te caktuar : supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e tillë I quajmë integrale jo të vetë.

Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a, ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a, ) e quajme limitin e integralit : kur t→ dhe simbolikisht shkruajmë:


Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë konvergjon,në raste tjera themi se integrali jo i vetë divergjon. Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem (,),atëherë integrali:

.

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

Teoremë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x (a,) vlen 0 f(x) g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon ,konvergjon dhe ;

(II) në qoftë se divergjon ,divergjon dhe ;

Në qoftë se konvergjon, atëherë konvergjon edhe .

Për integralin themi se konvergjon absolutisht në qoftë se konvergjon integrali .Në qoftë se divergjon, por konvergjon,atëherë themi se integrali konvergjon joabsolutisht.

Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar në një pikë apo në një numër të fundëm pikash të intervalit të intgrimit.

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë : ose : .Atëherë integrali :

= , (a t < +)

konvergjon sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit të mësipërm të ekziston.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin [a,b] përveç në pikën c, a<c<b dhe , atëherë integrali jo i vetë:

= + ,konvergjon, në qofte se të dy integralet në anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash ci (i=1,2,...,n) për të cilat :

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të tilla që dhe : si dhe 0 , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon ,konvergjon dhe  ;

(II) në qoftë se divergjon ,divergjon dhe .

Referimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

[1] [2]

[3]

  1. ^ Matematika II,III, Dr.Sc. Ejup Hamiti
  2. ^ http://mathworld.wolfram.com/Integral.html
  3. ^ https://sq.wikipedia.org/wiki/Integrali