Intervali i besimit

Çdo rresht pikash është një popullim nga e njëjta shpërndarje normale. Vijat me ngjyra janë 50% intervale besimi për mesataren, μ . Në qendër të çdo intervali është mesatarja e mostrës, e shënuar me një diamant. Intervalet blu përmbajnë mesataren e popullsisë, dhe ato të kuqe jo.

Në statistikën frekuentiste, një interval besimi ( IB ) është një shtrirje (diapazon) vlerësimesh për një parametër të panjohur. Një interval besimi llogaritet në një nivel të caktuar besimi ; niveli 95% i besimit është më i zakonshmi, por ndonjëherë përdoren nivele të tjera, si 90% ose 99%. Niveli i besimit, shkalla e besimit ose koeficienti i besimit përfaqëson proporcionin afatgjatë të IB (në nivelin e caktuar të besimit) që teorikisht përmbajnë vlerën e vërtetë të parametrit; kjo është e barabartë me probabilitetin nominal të mbulimit . Për shembull, nga të gjitha intervalet e llogaritura në nivelin 95%, 95% e tyre duhet të përmbajnë vlerën e vërtetë të parametrit.

Faktorët që ndikojnë në gjerësinë e IB përfshijnë madhësinë e popullimit, ndryshueshmërinë në popullim dhe nivelin e besimit. Duke patur gjithçka tjetër të njëjtë, një popullm më i madh prodhon një interval më të ngushtë besimi, ndryshueshmëria më e madhe në popullim prodhon një interval më të gjerë besimi dhe një nivel më i lartë besimi prodhon një interval më të gjerë besimi.

Përkufizimi

Le $X$ të jetë një popullim i rastit nga një shpërndarje probabiliteti me parametër statistikor $\theta$, e cila është një madhësi për t'u vlerësuar, dhe $\varphi$, që përfaqësojnë sasi që nuk janë me interes të menjëhershëm. Një interval besimi për parametrin $\theta$, me nivel besimi $\gamma$, është një interval $(u(X),v(X))$ të përcaktuara nga ndryshore e rastit $u(X)$ dhe $v(X)$ me vetinë:

$P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \quad {\text{ për çdo }}(\theta ,\varphi ).$

Numri $\gamma$, vlera tipike e së cilës është afër por jo më e madhe se 1, ndonjëherë jepet në formë $1-\alpha$ (ose në përqindje $100\%\cdot (1-\alpha )$ ), ku $\alpha$ është një numër i vogël pozitiv, shpesh 0.05.

Është e rëndësishme për kufijtë $u(X)$ dhe $v(X)$ të specifikohen në atë mënyrë që përderisa $X$ është mbledhur rastësisht, sa herë që ne llogarisim një interval besimi, ka probabilitet $\gamma$ që do të përmbante $\theta$, vlera e vërtetë e parametrit që vlerësohet. Kjo duhet të jetë e vërtetë për çdo të vërtetë $\theta$ dhe $\varphi$ .

Shembull

Supozoni ${X_{1},\ldots ,X_{n}}$ është një popullim i pavarur nga një popullatë e shpërndarë normalisht me mesataren e parametrave të panjohur $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}.$ Le të jetë

${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}},$

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}.$

Ku ${\bar {X}}$ është mesatarja e popullimit dhe $S^{2}$ është varianca e tij . Atëherë,

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$

ka një shpërndarje Studenti me $n-1$ shkallë lirie. Vini re se shpërndarja e $T$ nuk varet nga vlerat e parametrave të pavëzhgueshëm $\mu$ dhe $\sigma ^{2}$ ; dmth, është një madhësi prijëse . Supozoni se donim të llogarisnim një interval besimi 95% për $\mu .$ Pastaj, duke treguar $c$ si përqindja 97.5 e kësaj shpërndarjeje,

$P(-c\leq T\leq c)=0.95.$

Vini re se "97.5" dhe "0.95" janë të sakta në shprehjet e mëparshme. Ka një mundësi prej 2.5% që $T$ do të jetë më pak se $-c$ dhe një shans 2.5% që do të jetë më i madh se $+c.$ Kështu, probabiliteti që $T$ do të jetë ndërmjet $-c$ dhe $+c$ është 95%.

Rrjedhimisht,

$P\left({\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\right)=0.95,$

dhe kemi një interval besimi teorik (stokastik) 95% për $\mu .$

Pas vëzhgimit të popullimit gjejmë vlerat ${\bar {x}}$ për ${\bar {X}}$ dhe $s$ për $S,$ nga i cili njehsojmë intervalin e besimit

$\left[{\bar {x}}-{\frac {cs}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+{\frac {cs}{\sqrt {n}}}\right].$

Interpretimi

Mund të jepen interpretime të ndryshme të një intervali besimi (duke marrë si shembull intervalin 95% të besimit në vijim).

• Intervali i besueshmërisë mund të shprehet në terma të një frekuence afatgjatë në popullimet e përsëritura (ose në ri-popullime ): "Nëse kjo procedurë do të përsëritej në popullime të shumta, përpjestimi i intervaleve të besimit të llogaritura 95% që përfshinin vlerën e vërtetë të popullatës parametri do të priret drejt 95%.
• Intervali i besimit mund të shprehet në termat e probabilitetit në lidhje me një kampion të vetëm teorik (ende për t'u realizuar): "Ka një probabilitet 95% që intervali i besimit 95% i llogaritur nga një kampion i caktuar i ardhshëm do të mbulojë vlerën e vërtetë të parametri i popullsisë." Kjo në thelb riformulon interpretimin e "popullimeve të përsëritura" si një probabilitet dhe jo si një frekuencë.
• Intervali i besimit mund të shprehet në terma të rëndësisë statistikore, p.sh.: "Intervali i besimit 95% përfaqëson vlera që nuk janë statistikisht të ndryshme nga vlerësimi i pikës në nivelin 0,05."