Konstantja normalizuese

Në teorinë e probabilitetit, një konstante normalizuese ose faktor normalizues përdoret për të reduktuar çdo funksion probabiliteti në një funksion të dendësisë së probabilitetit me probabilitet total njësi.

Në teoremën e Bejesit, një konstante normalizuese përdoret për të siguruar që shuma e të gjitha hipotezave të mundshme është e barabartë me 1. Përdorime të tjera të konstantave normalizuese përfshijnë bërjen e vlerës së një polinomi Lezhandrit në 1 dhe në ortogonalitetin e funksioneve ortonormale.

Një koncept i ngjashëm është përdorur në fusha të ndryshme të matematikës, si për shembull për polinomet.

Përkufizimi

Në teorinë e probabilitetit, një konstante normalizuese është një konstante me të cilën një funksion kudo jo negativ duhet të shumëzohet, që sipërfaqja nën grafikun e saj të jetë 1, p.sh., për ta bërë atë një funksion të dendësisë së probabilitetit ose një funksion të masës së probabilitetit .

Shembuj

Nëse nisemi nga funksioni i thjeshtë i Gausit

$$p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )$$

kemi integralin gausian përkatës

$$\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},$$

Tani nëse përdorim vlerën reciproke të kësaj të fundit si një konstante normalizuese për të parën, duke përcaktuar një funksion $\varphi (x)$ si

$$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}$$

në mënyrë që integrali i tij të jetë njësi

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1$$

pastaj funksioni $\varphi (x)$ është një funksion i dendësisë së probabilitetit. Kjo është dendësia e shpërndarjes normale standarde. ( Standardi, në këtë rast, do të thotë se pritja matematike është 0 dhe varianca është 1. )

Dhe konstante ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ është konstantja normalizuese e funksionit $p(x)$ .

Në mënyrë të ngjashme,

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },$$

dhe rrjedhimisht

$$f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}$$

është një funksion i masës së probabilitetit në bashkësinë e të gjithë numrave të plotë jonegativë. Ky është funksioni i masës së probabilitetit të shpërndarjes Poisson me vlerën e pritur λ.

Përdorime jo probabiliste

Polinomet e Lezhandrit karakterizohen nga ortogonaliteti në lidhje me masën e njëtrajtshme në intervalin [−1, 1] dhe faktin që ato janë të normalizuara në mënyrë që vlera e tyre në 1 të jetë 1. Konstantja me të cilën shumëzohet një polinom, kështu që vlera e tij në 1 është një konstante normalizuese.

Funksionet ortonormale janë të normalizuara të tilla që

$$\langle f_{i},\,f_{j}\rangle =\,\delta _{i,j}$$

në lidhje me disa prodhime të brendshme $<f,g>$ .

Konstantja ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ përdoret për të vendosur funksionet hiperbolike $\cosh$ dhe $\sinh$ nga gjatësitë e anëve fqinje dhe të kundërta të një trekëndëshi hiperbolik .