Funksioni Gausian

Në matematikë, një funksion Gaussian, shpesh i referuar thjesht si një Gaussian, është një funksion i formës bazë.

$$f(x)=e^{-x^{2}}$$

dhe me shtrirje parametrike

$$f(x)=ae^{\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}$$

për konstante reale arbitrare a, b dhe jo zero c . Është emërtuar sipas matematikanit Karl Fridrih Gaus . Grafiku i një një funksioni gausian është një formë karakteristike simetrike e " këmbanës së ziles ". Parametri a është lartësia e majës së kurbës, b është pozicioni i qendrës së majës dhe c ( devijimi standard, ndonjëherë i quajtur gjerësia Gaussian RMS ) kontrollon gjerësinë e "këmbanës".

Funksionet Gaussian shpesh përdoren për të përfaqësuar funksionin e densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të shpërndarë normalisht me pritje matematike $\mu =b$ dhe variancë $\sigma ^{2}=c^{2}$ . Në këtë rast, Gausian është i formës

$$g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).$$

Funksionet Gaussian përdoren gjerësisht në statistikë për të përshkruar shpërndarjet normale, në përpunimin e sinjalit për të përcaktuar filtrat Gausianë, në përpunimin e imazhit ku Gausian-ët dydimensionalë përdoren për turbullimet Gausiane, dhe në matematikë për të zgjidhur ekuacionet e nxehtësisë dhe ekuacionet e difuzionit dhe për të përcaktuar transformimin Vajershtras.

Vetitë

Funksionet Gausiane lindin duke përbërë (kompozuar) funksionin eksponencial me një funksion kuadratik të mysët (konkav) :

$$f(x)=e^{\alpha x^{2}+\beta x+\gamma },$$

ku

• $\alpha =-1/2c^{2},$
• $\beta =b/c^{2},$
• $\gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).$

Funksione Gausiane janë ato funksione logaritmi i të cilave është një funksion kuadratik i mysët.

Funksionet Gausiane janë analitike dhe limiti i tyre kur x → ∞  është 0 (për rastin e mësipërm të b = 0 ).

Funksionet Gausiane janë ndër ato funksione që janë elementare, por u mungojnë integralet e pacaktuara elementare; integrali i funksionit Gausian është funksioni i gabimit . Sidoqoftë, integralet e tyre jo të veta mbi të gjithë vijën reale mund të vlerësohen saktësisht, duke përdorur integralin e Gausit .

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$$

dhe kështu marrim

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$$