Funksioni i masës së probabilitetit

Në probabilitet dhe statistikë, një funksion i masës së probabilitetit është një funksion i cili jep probabilitetin që një ndryshore e rastit diskrete të jetë saktësisht e barabartë me një vlerë. ^[1] Ndonjëherë njihet edhe me emrin 'funksioni i densitetit diskret'. Funksioni i masës së probabilitetit është shpesh mjeti kryesor për përcaktimin e një shpërndarje diskrete probabiliteti, dhe funksione të tilla ekzistojnë për variabla të rastësishme skalare ose multivariate, bashkësia e fytyrave e të cilave është diskrete.

Një funksion i masës së probabilitetit ndryshon nga një funksion i densitetit të probabilitetit (FDP) sepse ky i fundit i vihet në korrespondence një ndryshore rasti të vazhdueshme. Një FDP duhet të integrohet përgjatë një intervali që të japë një probabilitet. ^[2]

Vlera e ndryshores së rastit me masën më të madhe të probabilitetit quhet modë .

Përkufizimi formal[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni i masës së probabilitetit është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje rasti diskrete dhe siguron vlerat e mundshme dhe probabilitetet e tyre të lidhura. Është funksioni $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ përcaktuar ngaStampa:Equation box 1 $p_{X}(x)=P(X=x)$

për $-\infty <x<\infty$ , ^[2] ku $P$ është një masë probabiliteti . $p_{X}(x)$ mund të thjeshtohet edhe si $p(x)$ . ^[3]

Probabilitetet që lidhen me të gjitha vlerat (hipotetike) duhet të jenë jo negative dhe shumohen deri në 1,

\sum _{x}p_{X}(x)=1

dhe

p_{X}(x)\geq 0.

Shembuj[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

E fundme[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ekzistojnë tre shpërndarje kryesore të lidhura, shpërndarja Bernoulli, shpërndarja binomiale dhe shpërndarja gjeometrike .

Shpërndarja Bernuli: ber(p), përdoret për të modeluar një eksperiment me vetëm dy rezultate të mundshme. $p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{if }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{if }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}$ $p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{if }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{if }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}$ $p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$
Shpërndarja binomiale, modelon numrin e sukseseve kur dikush tërheq n herë me zëvendësim. Çdo barazim ose eksperiment është i pavarur, me dy rezultate të mundshme. Funksioni i masës së probabilitetit të lidhur është ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ .
Funksioni i masës së probabilitetit të një zari të drejtë . Të gjithë numrat në zar kanë një shans të barabartë për t'u shfaqur në krye kur zari pushon së rrotulluari.
Një shembull i shpërndarjes binomiale është probabiliteti për të marrë saktësisht një 6 kur zari rrokulliset tri herë.
Shpërndarja gjeometrike përshkruan numrin e provave të nevojshme për të arritur një sukses. Funksioni i masës së probabilitetit të tij është ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$ .
Një shembull është hedhja e një monedhe derisa të shfaqen "koka" e parë. $p$ tregon probabilitetin e rezultatit "kokë", dhe $k$ tregon numrin e hedhjeve të nevojshme të monedhës.
Shpërndarje të tjera që mund të modelohen duke përdorur një funksion të masës së probabilitetit janë shpërndarja kategorike (e njohur gjithashtu si shpërndarja e përgjithësuar e Bernulit) dhe shpërndarja shumënomiale .
Nëse shpërndarja diskrete ka dy ose më shumë kategori, njëra prej të cilave mund të ndodhë, pavarësisht nëse këto kategori kanë apo jo një renditje natyrale, kur ka vetëm një provë të vetme (barazim) kjo është një shpërndarje kategorike.
Një shembull i një shpërndarje diskrete multivariate, dhe i funksionit të masës së probabilitetit të saj, jepet nga shpërndarja shumënomiale . Këtu variablat e shumëfishtë të rastit janë numrat e sukseseve në secilën prej kategorive pas një numri të caktuar provash, dhe çdo masë probabiliteti jozero jep probabilitetin e një kombinimi të caktuar të numrave të sukseseve në kategori të ndryshme.

E pafundme[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shpërndarja e mëposhtme në rënie eksponenciale është një shembull i një shpërndarjeje me një numër të pafund rezultatesh të mundshme - të gjithë numrat e plotë pozitivë:

{\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i=1,2,3,\dots

Pavarësisht numrit të pafund të rezultateve të mundshme, masa totale e probabilitetit është 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, duke përmbushur kërkesën e probabilitetit total të njësisë për një shpërndarje probabiliteti.

^ Stewart, William J. (2011). Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press. fq. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ ^a ^b A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Është përdorur gabimisht parametri i të tjerëve (lidhja) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content
^ Rao, Singiresu S. (1996). Engineering optimization : theory and practice (bot. 3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1] Stewart, William J. (2011). Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press. fq. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[:0-2] A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Është përdorur gabimisht parametri i të tjerëve (lidhja) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content

[3] Rao, Singiresu S. (1996). Engineering optimization : theory and practice (bot. 3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]