Shpërndarja gjeometrike

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja gjeometrike është një nga dy shpërndarjet diskrete të probabilitetit :

• Shpërndarja e probabilitetit të n.r $X$ të provave të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses, në bashkësinë e përcaktimit $\{1,2,3,\ldots \}$ ;
• Shpërndarja e probabilitetit e n.r $Y=X-1$ i dështimeve para suksesit të parë, në bashkësinë e përcaktimit $\{0,1,2,\ldots \}$ .

Cila nga këto quhet shpërndarje gjeometrike është çështje konvencionale dhe komoditeti.

Shpërndarja gjeometrike jep probabilitetin që suksesi i parë të kërkojë k prova të pavarura, secila me probabilitet suksesi $p$ . Nëse probabiliteti i suksesit në çdo provë është $p$, atëherë probabiliteti që prova numër $k$ është suksesi i parë është

$\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p$

për k = 1, 2, 3, 4, . . . .

Forma e mësipërme e shpërndarjes gjeometrike përdoret për modelimin e numrit të provave deri dhe duke përfshirë suksesin e parë. Në të kundërt, forma e mëposhtme e shpërndarjes gjeometrike përdoret për modelimin e numrit të dështimeve deri në suksesin e parë:

$\Pr(Y=k)=\Pr(X=k+1)=(1-p)^{k}p$

Në secilin rast, seria e probabiliteteve është një seri gjeometrike .

Për shembull, supozoni se një zar i zakonshëm hidhet në mënyrë të përsëritur derisa të shfaqet për herë të parë "1". Shpërndarja e probabilitetit të numrit të herëve që hidhet mbështetet në bashkësinë e pafundme { 1, 2, 3, ... } dhe është një shpërndarje gjeometrike me $p=1/6$.

Shpërndarja gjeometrike shënohet me ${\text{Geo}}(p)$ ku $0\leq p\leq 1$.

Përkufizimet

Konsideroni një seri provash, ku çdo provë ka vetëm dy rezultate të mundshme (dështim dhe sukses i caktuar). Probabiliteti i suksesit supozohet të jetë i njëjtë për çdo provë. Në një seri të tillë provash, shpërndarja gjeometrike është e dobishme për të modeluar numrin e dështimeve përpara suksesit të parë pasi eksperimenti mund të ketë një numër të pacaktuar provash deri në sukses, ndryshe nga shpërndarja binomiale e cila ka një numër të caktuar provash. Shpërndarja jep probabilitetin që të ketë zero dështime para suksesit të parë, një dështim para suksesit të parë, dy dështime para suksesit të parë, e kështu me radhë.

Supozimet: Kur shpërndarja gjeometrike është një model i përshtatshëm?

Shpërndarja gjeometrike është një model i përshtatshëm nëse supozimet e mëposhtme janë të vërteta.

• Dukuria që modelohet është një seri provash të pavarura.
• Ekzistojnë vetëm dy rezultate të mundshme për çdo provë, shpesh të përcaktuara si sukses ose dështim.
• Probabiliteti i suksesit, p, është i njëjtë për çdo provë.

Shembuj të rezultateve të probabilitetit

Formula e përgjithshme për llogaritjen e probabilitetit të $k$ dështimeve para suksesit të parë, ku probabiliteti i suksesit është $p$ dhe probabiliteti i dështimit është $q=1-p$, është

$\Pr(Y=k)=q^{k}\,p.$

për k = 0, 1, 2, 3, . . .

E2) Një çift i porsamartuar planifikon të ketë fëmijë dhe do të vazhdojë deri në vajzën e parë. Sa është probabiliteti që të ketë zero djem para vajzës së parë, një djalë para vajzës së parë, dy djem para vajzës së parë, e kështu me radhë?

Probabiliteti për të pasur një vajzë (sukses) është p = 0.5 dhe probabiliteti për të pasur një djalë (dështim) është $q=1-p=0.5$.

Probabiliteti që të mos ketë djem para vajzës së parë është:

$\Pr(Y=0)=q^{0}\,p\ =0.5^{0}\times 0.5=1\times 0.5=0.5.$

Probabiliteti i një djali para vajzës së parë është

$\Pr(Y=1)=q^{1}\,p\ =0.5^{1}\times 0.5=0.5\times 0.5=0.25.$

Probabiliteti i dy djemve para vajzës së parë është

$\Pr(Y=2)=q^{2}\,p\ =0.5^{2}\times 0.5=0.125.$

Vetitë

Momentet dhe mbledhësit

Vlera e pritur për numrin e provave të pavarura për të marrë suksesin e parë dhe varianca e një ndryshoreje rasti $X$ të shpërndarë gjeometrikisht është:

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \operatorname {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Në mënyrë të ngjashme, vlera e pritur dhe varianca e ndryshores së rastit të shpërndarë gjeometrikisht $Y=X-1$ (Shih përkufizimin e shpërndarjes $\Pr(Y=k)$ ) është:

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X-1)=\operatorname {E} (X)-1={\frac {1-p}{p}},\qquad \operatorname {var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Shembuj të vlerave të pritshme

E3) Një pacient është duke pritur për një dhurues të përshtatshëm të veshkës për një transplant. Nëse probabiliteti që një dhurues i zgjedhur rastësisht është një përputhje e përshtatshme është $p=0.1$, cili është numri i pritshëm i dhuruesve që do të testohen përpara se të gjendet një dhurues që përputhet?

Me p = 0,1, numri mesatar i dështimeve përpara suksesit të parë është $E[Y]=(1-p)/p=(1-0.1)/0.1=9$.

Për formulimin alternativ, ku X është numri i provave deri dhe duke përfshirë suksesin e parë, pritja është$E[X]=1/p=1/0.1=10$.

Për shembull 1 më sipër, me p = 0,6, numri mesatar i dështimeve përpara suksesit të parë është $E[Y]=(1-p)/p=(1-0.6)/0.6=0.67$.

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Shpërndarja gjeometrike $Y$ është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale negative, me $r=1$. Në përgjithësi, nëse $Y_{1},Y_{2},...,Y_{r}$ janë ndryshore të pavarura gjeometrikisht të shpërndara me parametër p, pastaj shuma

$Z=\sum _{m=1}^{r}Y_{m}$

ndjek një shpërndarje binomiale negative me parametrat $r$ dhe $p$.

• Shpërndarja gjeometrike është një rast i veçantë i shpërndarjes së përbërjes diskrete Poisson .
• Nëse $Y_{1},Y_{2},...,Y_{r}$ janë ndryshore të pavarura të shpërndara gjeometrikisht (me mundësisht parametra të ndryshëm të suksesit $p_{m}$ ), pastaj minimumi i tyre

$W=\min _{m\in 1,\ldots ,r}Y_{m}\,$

shpërndahet gjithashtu gjeometrikisht, me parametër $p=1-\prod _{m}(1-p_{m}).$

• Supozoni $0<r<1$, dhe për k = 1, 2, 3, ... ndryshorja e rastit $X_{k}$ ka një shpërndarje Poisson me vlerën e pritur $r^{k}/k$ . Pastaj

$\sum _{k=1}^{\infty }k\,X_{k}$

ka një shpërndarje gjeometrike që merr vlera në grupin {0, 1, 2, ...}, me vlerën e pritur $r/(1-r)$. 

• Shpërndarja eksponenciale është analoge e vazhdueshme e shpërndarjes gjeometrike. Nëse $X$ është një ndryshore e rastit e shpërndarë në mënyrë eksponenciale me parametër λ, atëherë

$Y=\lfloor X\rfloor ,$

ku $\lfloor \quad \rfloor$ është funksioni i dyshemesë (ose numri më i plotë më i madh), është një ndryshore e rastit e shpërndarë gjeometrikisht me parametrin $p=1-e^{-\lambda }$ (pra $\lambda =-\ln(1-p)$) ) dhe duke marrë vlera në grup {0, 1, 2, . . . }. Kjo mund të përdoret për të gjeneruar numra gjoja-të-rastësishëm të shpërndarë gjeometrikisht duke gjeneruar së pari numra gjoja-të-rastësishëm të shpërndarë në mënyrë eksponenciale nga një gjenerues i njëtrajtshëm numrash gjore : më pas $\lfloor \ln(U)/\ln(1-p)\rfloor$ shpërndahet gjeometrikisht me parametër $p$, nëse $U$ shpërndahet në mënyrë uniforme në [0,1].

• Nëse $p=1/n$ dhe $X$ shpërndahet gjeometrikisht me parametrin p, atëherë shpërndarja e $X/n$ i afrohet një shpërndarjeje eksponenciale me vlerën e pritur 1 si $n\to \infty$, pasi

${\begin{aligned}\Pr(X/n>a)=\Pr(X>na)&=(1-p)^{na}=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{na}=\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{a}\\&\to [e^{-1}]^{a}=e^{-a}{\text{ as }}n\to \infty .\end{aligned}}$