Funksionet dysheme dhe tavan

 

Funksionet tavan dhe dysheme

Funksioni dysheme

Funksioni tavan

Në matematikë dhe shkenca kompjuterike, funksioni dysheme është funksioni që merr si hyrje një numër real x, dhe jep si dalje numrin më të madh të plotë që është më i vogël ose i barabartë me x, të shënuar ⌊x⌋ ose floor(x) . Në mënyrë të ngjashme, funksioni tavan hartëzon x në numrin më të vogël të plotë që është më i madh ose të barabartë me x, të shënuar ⌈x⌉ ose ceil(x) .

Për shembull (floor), ⌊2.4⌋ = 2, ⌊− 2,4⌋ = − 3, dhe për (ceil); ⌈2.4⌉ = 3, dhe ⌈− 2,4⌉ = − 2 .

Për n numër të plotë, ⌊n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .

Shembuj

x	Floor ⌊x ⌋	Ceiling ⌈x ⌉	Pjesa thyesore {x }
2	2	2	0
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0.9
− 2.7	− 3	− 2	0.3
− 2	− 2	− 2	0

Zbatimet

Operatori mod

Për një numër të plotë x dhe një numër të plotë pozitiv y, operacioni <i>modulo</i> ose ndryshe <i>i mbetjes</i> , i shënuar me x mod y, jep vlerën e mbetjes kur x pjesëtohet me y . Ky përkufizim mund të zgjerohet në x reale dhe y, y ≠ 0, me anë të formulës

$x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .$

Numri i shifrave

Numri i shifrave, në sistemin me bazë b, të një numri të plotë pozitiv k është:

$\lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .$

Numri i stringave pa karaktere të përsëritura

Numri i stringave të mundshme me gjatësi arbitrare që nuk përdor asnjë karakter dy herë jepet nga  

$(n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor$

ku:

• n > 0 është numri i gërmave në alfabet (e.g., 26 në Anglisht)
• the faktoriali zbritës $(n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$ tregon numrin e stringave me gjatësi k që nuk përdorin asnjë karakter dy herë.
• n! tregon faktorialin e n
• e = 2.718… është numri i Neperit

Për n = 26, numri është 1096259850353149530222034277.

Faktorët e faktorialëve

Le të jetë n një numër i plotë pozitiv dhe p një numër i thjeshtë pozitiv. Eksponenti i fuqisë më të lartë të p që pjesëton n ! është dhënë nga një version i formulës së Lezhandrit

$\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}$

Konstanta e Euler-it (γ)

Ekzistojnë formula për konstanten e Eulerit γ = 0,57721 56649 ... që përfshijnë funksionet dysheme dhe tavan, p.sh.

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,$

$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),$

Funksioni zeta i Riemannit (ζ)

Funksioni i pjesës thyesore shfaqet gjithashtu në paraqitjet integrale të funksionit zeta të Riemann-it .

$\zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .$

In 1947 van der Pol e përdori këtë paraqitje për të ndërtuar një kompjuter analog që gjente rrënjët e funksionit zeta.