Limiti i një funksioni

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0,998334...
0.01	0,999983...

Megjithëse funksioni ${\frac {\sin x}{x}}$ nuk është përcaktuar në zero, pasi x i afrohet zeros gjithnjë e më shumë, ${\frac {\sin x}{x}}$ i afrohet pambarimisht 1. Me fjalë të tjera, limiti i ${\frac {\sin x}{x}}$kur x i afrohet zeros, është e barabartë 1.

Në matematikë, kufiri i një funksioni është një koncept themelor në kalkulus dhe analizën matematike në lidhje me sjelljen e atij funksioni pranë një pike të caktuar.

Përkufizimet formale, të krijuara për herë të parë në fillim të shekullit të 19-të, janë dhënë më poshtë. Joformalisht, një funksion $f$ cakton një dalje $f(x)$ për çdo hyrje x . Themi se funksioni ka një kufi L në një hyrje $p$, nëse $f(x)$ i afrohet L gjithnjë e më shumë ndërsa $x$ i afrohet gjithnjë e më shumë $p$. Më konkretisht, kur f zbatohet për çdo hyrje mjaftueshëm afër p, vlera e daljes detyrohet në mënyrë arbitrare afër L Nga ana tjetër, nëse disa hyrje shumë afër p merren në dalje që qëndrojnë në një distancë fikse larg njëra-tjetrës, atëherë themi se kufiri nuk ekziston .

Funksionet e një ndryshoreje të vetme

(ε, δ)-definition of limit

Për f, a dhe b të paraqitura, ne mund të sigurojmë që vlera $f(x)$ të jetë brenda një intervali arbitrar të vogël (b – ε, b + ε) duke kufizuar x në një interval mjaft të vogël (a – δ, a + δ). Prandaj $f(x)$ → b kur x → a .

Supozoni se $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ është një funksion i përcaktuar në vijën reale, dhe gjenden dy numra realë p dhe L . Mund të thuhet se kufiri i f, kur x i afrohet p, është L dhe shkruhet

$$\lim _{x\to p}f(x)=L,$$

ose në mënyrë alternative, të themi ${\boldsymbol {f(x)}}$ tenton drejt L ndërsa x shkon në p, dhe shkruhet:

$$f(x)\to L{\text{ kur }}x\to p,$$

nëse vlen vetia e mëposhtme: për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ reale > 0 e tillë që për të gjitha x reale, $0<|x-p|<\delta$ nënkupton $|f(x)-L|<\epsilon$. Në mënyrë simbolike,

$$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$$

Për shembull, mund të themi

$$\lim _{x\to 2}(4x+1)=9$$

sepse për çdo ε > 0 reale, mund të marrim δ = ε /4, kështu që për të gjitha x reale, nëse 0 < | x − 2 | < δ, pastaj | 4 x + 1 − 9 | < ε .

Për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ real > 0 e tillë që për të gjitha x ∈ ( a, b ), 0 < |x − p | < δ nënkupton që |f ( x ) − L | < ε .

Ose simbolikisht:

$$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$$