Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Në matematikë, mosbarazimi Askey–Gasper është një mosbarazim për polinomet Jacobi, e vërtetuar nga Richard Askey and George Gasper (1976 ) dhe përdoret në vërtetimin e konjekturës së Bieberbahut .
Në të thuhet se nëse
β
≥
0
{\displaystyle \beta \geq 0}
α
+
β
≥
−
2
{\displaystyle \alpha +\beta \geq -2}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
∑
k
=
0
n
P
k
(
α
,
β
)
(
x
)
P
k
(
β
,
α
)
(
1
)
≥
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}
ku
P
k
(
α
,
β
)
(
x
)
{\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}
është një polinom Jakobi.
Rasti kur
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
3
F
2
(
−
n
,
n
+
α
+
2
,
1
2
(
α
+
1
)
;
1
2
(
α
+
3
)
,
α
+
1
;
t
)
>
0
,
0
≤
t
<
1
,
α
>
−
1.
{\displaystyle {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.}
Në këtë formë, me α një numër të plotë jo-negativ, mosbarazimi u përdor nga Louis de Branges në vërtetimin e tij të konjekturës Bieberbach .
Ekhad (1993 ) dha një provë të shkurtër të këtij mosbarazimi, duke kombinuar identitetin
(
α
+
2
)
n
n
!
×
3
F
2
(
−
n
,
n
+
α
+
2
,
1
2
(
α
+
1
)
;
1
2
(
α
+
3
)
,
α
+
1
;
t
)
=
=
(
1
2
)
j
(
α
2
+
1
)
n
−
j
(
α
2
+
3
2
)
n
−
2
j
(
α
+
1
)
n
−
2
j
j
!
(
α
2
+
3
2
)
n
−
j
(
α
2
+
1
2
)
n
−
2
j
(
n
−
2
j
)
!
×
3
F
2
(
−
n
+
2
j
,
n
−
2
j
+
α
+
1
,
1
2
(
α
+
1
)
;
1
2
(
α
+
2
)
,
α
+
1
;
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)=\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}}
me mosbarazimin e Klausenit .
