Pasqyrimi

Pasqyrimi (shiko Pasqyra) është shprehje e cila përdoret në biseda të lira dhe në disa lëmi shkencore. Kryesisht me shprehjen pasqyrim kuptohet krijimi i një figure në një bashkësi në bazë të dhënave nga një figurë e një bashkësie tjetër, ku gjatë krijimit të figurës ndodhin gabime.

Për shkak të këtyre gabimeve në praktikë bëhet edhe përkufizimi i pasqyrimit si në biseda të lira po ashtu edhe në lëmi shkencore. Për deri sa përkufizimi në biseda të lira ndodhë si rezultat i logjikës së përgjithshme të shoqërisë në shkencë për shkak të nevojës së saktësisë, përkufizimi bëhet sipas një logjike të caktuar. Si do që të jetë, në shkenë për pasqyrimet e përkufizuara shpeshë thuhet funksioni ose relacioni.

Pasqyrimi në matematikë

Pasqyrimi në matematikë është përkufizim themelorë, pa të cilin nuk do të kishte kuptim vetë lënda e matematikës. Matematika është pasqyrim i marrëveshjeve që njerëzit gjatë zhvillimit të tyre mendorë kanë bërë ndërmjet veti. Në të vërtet matematika është një përmbledhje e marrëveshjeve që njerëzit kanë bërë ndërmjet veti nëpër gjenerata. Ajo nuk na paraqet marrëveshjet që janë shkelur por vetëm ato që njerëzit më të mençur të gjithë njerëzimit nëpër kohëra na kanë lënë si trashëgimi të cilën mund ta pasurojnë/korrigjojnë vetëm ata që kanë logjikë më të aftë se gjithë njerëzit para tij.

Me përkufizim e paqyrimit në matematikë krijohen themelet me të cilin rregullohet pasqyrimi i elementeve të një bashkësie në elementet e bashkësisë tjetër. Për pasqyrim përdoren edhe fjalë tjera që kanë të njëjtin kuptim, si b.f. "funksioni" apo "relacioni". Po ashtu ky përkufizim është formuluar dhe shkruhet në disa trajta, si p.sh.:

$f:{A}\to B$,

e cila lexohet “Bashkësia jo e zbrazët $A$ pasqyrohet në bashkësinë jo të zbrazët $B$” ose më shkurtë “$A$ pasqyrohet në $B$”, edhe më shkurt “$A$ në $B$”. Gjatë shkurtimeve sipas marrëveshjeve nënkuptohet se për se është fjala.

Nëse ekziston një element i çfardoshëm ($a$) në një bashkësisë ($A$) dhe nëse ekziston një element tjetër ($b$) element i një bashkësie tjetër ($B$), dhe këtë dy bashkësi nuk janë të zbraza atëherë formulimi matematikorë i këtij pohimi është:

$\exists a\in A$ dhe $\exists b\in B$.

Kur ky pohim vlenë, atëherë për përgjithësim mund të shkruajmë shprehjet:

$f:{a}\ \to b\,\ ose\ f(a)=b$

Pasqyrimi Invers

Le të jetë dhënë f : X→Y.

Përftyrimi i bashkësisë A ⊆ X është bashkësia f(A) = {f(x) : x ∈ A dhe y = f(x)} ⊆ Y.

Ftyra inverse e bashkësisë B ⊆ Y është bashkësia $f^{-1}$(B)= {x ∈ X : ∃y ∈ B dhe y = f(x)} ⊆ X.

$f^{-1}$ nuk është pasqyrim i bashkësisë Y në X, por mund të konsiderohet si pasqyrim i bashkësisë Y në bashkësinë partitive të X, pra në bashkësinë P(X), ashtu që elementi y ∈ Y i shoqërohet bashkësia $f^{-1}$(y) ∈ P(X).

Përkufizim:

Për pasqyrimin f : X→Y thuhet se është pasqyrim surjektiv ose pasqyrim mbi, nëse çdo element i bashkësisë Y është fytyrë

e së paku një elementi të bashkësisë X, d.m.th f(X)=Y.

Përkufizim:

Për pasqyrimin f : X→Y thuhet se është pasqyrim injektiv ose pasqyrim një-një, nëse nga x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2), për x1,x2 ∈ X ose f(x1) = f(x2) → x1 = x2.

Përkufizim:

Pasqyrimi f : X→Y quhet pasqyrimi bijektiv, nëse njëkohësisht është injektiv dhe surjektiv.

Shembull:

Pasqyrimi f = ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\4&1&2&3&5\end{pmatrix}}$ është pasqyrim bijektiv i bashkësisë {a,b,c,d,e} mbi bashkësinë {1,2,3,4,5}.

Në lidhje me pasqyrimin f shikojmë këtë pasqyrim g = ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4&5\\b&c&d&a&e\end{smallmatrix}}{\bigr )}$.

Siq vihet re, çiftet e renditura (4,a), (1,b), (2,c), (3,d), (5,e) që e përbëjnë pasqyrimin f, kanë "ndryshuar radhën".

Çiftet e fituara (a,4), (b,1), (c,2), (d,3), (e,5) janë elemente të pasqyrimit g .

Thënë ndryshe, fytyra e pasqyrimit f janë origjinalet e pasqyrimt g dhe fytyra e pasqyrimit g janë oregjinale të pasqyrimit f përkatësisht.

Pasqyrim i këtillë g quhet pasqyrim invers (i anasjelltë) i pasqyrimit f.

Zkonisht, për pasqyrimin invers të pasqyrimit f, përdoret shenja $f^{-1}$.

Andaj, nëse pasqyrimi f : X→Y është bijektiv, atëherë mund të përkufizohet edhe pasqyrimi invers $f^{-1}$: X→Y .