Rrotullimet dhe pasqyrimet në dy dimensione

Në gjeometrinë Euklidiane, rrotullimet dhe pasqyrimet dy-dimensionale janë dy lloje të izometrive të rrafshit Euklidian që lidhen me njëra-tjetrën.

Procesi

Një rrotullim në aeroplan mund të formohet duke përbërë një çift reflektimesh. Së pari pasqyroni një pikë P në imazhin e saj P′ në anën tjetër të vijës $L_{1}$. Pastaj reflektoni P′ në imazhin e tij P′ ′ në anën tjetër të rreshtit $L_{2}$. Nëse drejtëzat $L_{1}$ dhe $L_{2}$ bëjnë një kënd θ me njëra-tjetrën, atëherë pikat P dhe P′ ′ do të bëjnë një kënd 2θ rreth pikës O, kryqëzimi i $L_{1}$ dhe $L_{2}$ . Dmth, këndi ∠ POP′′ do të masë 2θ .

Shprehje matematikore

Deklaratat e mësipërme mund të shprehen më matematikisht. Le të shënohet një rrotullim rreth origjinës O me një kënd $\vartheta$ si $\operatorname {Rot(\vartheta )}$ . Le të shënohet një reflektim rreth një drejtëze L përmes origjinës që bën një kënd $\vartheta$ me boshtin $Ox$ të shënohet si $\operatorname {Ref(\vartheta )}$ . Lërini këto rrotullime dhe reflektime të veprojnë në të gjitha pikat në rrafsh, dhe le të përfaqësohen këto pika me vektorë pozicioni. Pastaj një rrotullim mund të përfaqësohet si një matricë ,

$$\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},$$

dhe po ashtu për një pasqyrim,

$$\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.$$

Me këto përkufizime të rrotullimit dhe pasqyrimit të koordinatave, ekzistojnë katër identitetet e mëposhtme:

$${\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}$$

Prova

Tabela e mëposhtme jep shembuj të matricave së rrotullimit dhe pasqyrimit :

Lloji	këndi θ	matricë
Rrotullimi	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Rrotullimi	$\pm$ 45°	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Rrotullimi	90°	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
Rrotullimi	180°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Reflektimi	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Reflektimi	45°	${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
Reflektimi	90°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Reflektimi	-45°	${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$