Matrica

Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [$a$_ik]_m,n.

Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave $a$_ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n) të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.
${\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

Veprimet me matrica

Mbledhja

Shuma e dy $m\times n$-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\3&3&3\end{pmatrix}}$

Prodhimi Skalar

Një matricë shumëzohet me një skalar , nëse të gjitha hyrjet e matricës shumëzohen me skalarin :

$\lambda \cdot A=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 3&2\cdot 2\\2\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6&4\\2&4&4\end{pmatrix}}$

Transpozimi i matricës

E transpozuara e një matrice m x n të shënuar si A , është matrica A^T e marrë duke kthyer rreshtat e matricës A në shtylla dhe shtyllat në kolona. Pra në thelb matrica e transpozuar merret duke vendosur vertikalisht rreshtat e matricës A ose duke vendosur horizontalisht shtyllat e po kësaj matrice.

$(A^{T})_{i,j}=A_{j,i}$

Shembull konkret

${\begin{bmatrix}1&4&-1&0\\-2&1&0&1\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}1&-2\\4&1\\-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave

Prodhimi i dy matricave është pak më i ndërlikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica $A=(a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$ dhe $B=(b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$ shumëzohen, duke shumëzuar rreshtin e parë të matricës se parë me shtyllën e parë të matricës së dytë për t'u fituar hyrja e parë e matricës.

$A\cdot B=(c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$ dhe $c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit.

Veprime të tjera me matrica

Gjurma

Gjurma e një matrice katrore A, tr(A), jepet si shuma e elementeve të diagonales kryesore. Nëse pak më lart u shpreh që shumëzimi i matricave nuk është ndërrues, gjurma e prodhimit të dy matricave është e pavarur nga rendi i faktorëve:

$tr({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=tr({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}})$

Kjo është e menjëhershme nga përkufizimi i shumëzimit matricor:

$tr({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=tr({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}})$

Duhet thënë se në rastin e shumëzimit të më shumë se 2 matricave, për një permutacion të çfarëdoshëm të tyre formula nuk vlen. Gjithashtu ajo është e vlefshme për rastin e transpozimit:

$tr(A)=tr(A^{T})$

Përcaktori

Përcaktori i një matrice katrore A i shënuar si det(A) ose |A| është një numër i cili kodon disa veti të matricës. Një matricë është e invertueshme (ka të anasjelltë) vetëm nëse përcaktori është jozero. Vlera absolute e tij jep sipërfaqen (në R²) ose vëllimi (në R³) të shëmbëllimit të katrorit ose kubit njësi. Ndërkohë që shenja i korrespondon orientimit të hartës lineare korresponduese. Përcaktori është pozitiv vetëm nëse orientimi i boshteve ruhet.

Autovlerat dhe autovektorët

Një numër $\lambda$ dhe një vektor $v$ jozero që kënaqin barazimin:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}$

quhen një vlerë e vetë (autovlerë) dhe vektor i vetë (autovektor) i matricës A respektivisht. Për të gjetur të gjitha autovlerat e një matrice katrore duhet të zgjidhim:

$\det({\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}})=0$

Nga ky barazim rezulton një polinom monik i shkallës n (sa dimensionet e matricës). Kështu ky polinom ka të shumtën n zgjidhje të ndryshme. Këto mund të jenë komplekse edhe nëse elementet e matricës janë reale.

Shiko dhe këtë

• Përcaktori
• Wiki Libri: Matricat dhe përcaktorët