Matrica
Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.
Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [ik]m,n.
Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n) të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1]
Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.
Veprimet me matrica[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Mbledhja[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Shuma e dy -matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu
- Shembull konkret
Prodhimi Skalar[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Një matricë shumëzohet me një skalar , nëse të gjitha hyrjet e matricës shumëzohen me skalarin :
- Shembull konkret
Transpozimi i matricës[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
E transpozuara e një matrice m x n të shënuar si A , është matrica AT e marrë duke kthyer rreshtat e matricës A në shtylla dhe shtyllat në kolona. Pra në thelb matrica e transpozuar merret duke vendosur vertikalisht rreshtat e matricës A ose duke vendosur horizontalisht shtyllat e po kësaj matrice.
Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Prodhimi i dy matricave është pak më i ndërlikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica dhe shumëzohen, duke shumëzuar rreshtin e parë të matricës se parë me shtyllën e parë të matricës së dytë për t'u fituar hyrja e parë e matricës.
- dhe
- Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:
Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:
Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit.
Veprime të tjera me matrica[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Gjurma[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Gjurma e një matrice katrore A, tr(A), jepet si shuma e elementeve të diagonales kryesore. Nëse pak më lart u shpreh që shumëzimi i matricave nuk është ndërrues, gjurma e prodhimit të dy matricave është e pavarur nga rendi i faktorëve:
Kjo është e menjëhershme nga përkufizimi i shumëzimit matricor:
Duhet thënë se në rastin e shumëzimit të më shumë se 2 matricave, për një permutacion të çfarëdoshëm të tyre formula nuk vlen. Gjithashtu ajo është e vlefshme për rastin e transpozimit:
Përcaktori[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Përcaktori i një matrice katrore A i shënuar si det(A) ose |A| është një numër i cili kodon disa veti të matricës. Një matricë është e invertueshme (ka të anasjelltë) vetëm nëse përcaktori është jozero. Vlera absolute e tij jep sipërfaqen (në R2) ose vëllimi (në R3) të shëmbëllimit të katrorit ose kubit njësi. Ndërkohë që shenja i korrespondon orientimit të hartës lineare korresponduese. Përcaktori është pozitiv vetëm nëse orientimi i boshteve ruhet.
Autovlerat dhe autovektorët[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Një numër dhe një vektor jozero që kënaqin barazimin:
quhen një vlerë e vetë (autovlerë) dhe vektor i vetë (autovektor) i matricës A respektivisht. Për të gjetur të gjitha autovlerat e një matrice katrore duhet të zgjidhim:
Nga ky barazim rezulton një polinom monik i shkallës n (sa dimensionet e matricës). Kështu ky polinom ka të shumtën n zgjidhje të ndryshme. Këto mund të jenë komplekse edhe nëse elementet e matricës janë reale.
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
- ^ Ismet Dehiri : Matematika I dhe II. Prishtinë, 1979