Matrica

Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [$a$$a$_ik]_m,n.

Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave $a$$a$_ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n) të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.
${\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

Mbledhja dhe Shumzimi

Mbledhja

Shuma e dy $m\times n$$m\times n$-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\3&3&3\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\3&3&3\end{pmatrix}}$

Prodhimi Skalar

Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin :

$\lambda \cdot A=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$$\lambda \cdot A=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Shembull konkret

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 3&2\cdot 2\\2\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6&4\\2&4&4\end{pmatrix}}$$2\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 3&2\cdot 2\\2\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6&4\\2&4&4\end{pmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave

Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica $A=(a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$$A=(a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$ dhe $B=(b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$$B=(b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$ shumëzohen, duke prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar anëtari i parë.

$A\cdot B=(c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$$A\cdot B=(c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$   dhe  $c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Shembull konkret

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit

Shiko dhe këtë

• Përcaktori
• Wiki Libri: Matricat dhe përcaktorët