Shpërndarja F

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja F ose raporti F, e njohur gjithashtu si shpërndarja F e Snedekorit ose shpërndarja Fisher-Snedekor (pas Ronald Fisher dhe George W. Snedecor ), është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që lind shpesh si shpërndarje null e një statistike testimi, më së shumti në analizën e variancës (ANOVA) dhe F -testeve të tjera.

Përkufizimi

Shpërndarja $F$ me $d_{1}$ dhe $d_{2}$ shkallë lirie është shpërndarja e

$X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$

ku ${\textstyle S_{1}}$ dhe ${\textstyle S_{2}}$ janë ndryshore të rastit të pavarura me shpërndarje hi-katrore me shkallë lirie përkatëse ${\textstyle d_{1}}$ dhe ${\textstyle d_{2}}$ .

Mund të tregohet se funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) për $X$ jepet nga

${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}$

për $x>0$ real. Këtu $\mathrm {B}$ është funksioni beta . Në shumë zbatime, parametrat $d_{1}$ dhe $d_{2}$ janë numra të plotë pozitivë, por shpërndarja është e mirëpërcaktuar për vlera reale pozitive të këtyre parametrave.

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

ku $I$ është funksioni beta jo i plotë i rregulluar .

Pritshmëria, varianca dhe detaje të tjera rreth $F(d_{1},d_{2})$ janë dhënë në kutinë anësore; për $d_{2}>8$, kurtoza e tepërt është

$\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$

Momenti k -të i një shpërndarjeje $F(d_{1},d_{2})$ ekziston dhe është i fundëm vetëm kur $2k<d_{2}$ dhe është i barabartë me

$\mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.$

Karakterizimi

Një ndryshor i rastit i shpërndarjes $F$ me parametra $d_{1}$ dhe $d_{2}$ lind si raport i dy variateve hi-katror të shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme:

$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$

ku

• $U_{1}$ dhe $U_{2}$ kanë shpërndarje hi-katrore me $d_{1}$ dhe $d_{2}$ shkallët e lirisë përkatësisht, dhe
• $U_{1}$ dhe $U_{2}$ janë të pavarur .

Vetitë dhe shpërndarjet e lidhura

• Nëse $X\sim \chi _{d_{1}}^{2}$ dhe $Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}$ ( Shpërndarja hi-katror ) janë të pavarura, atëherë ${\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$
• Nëse $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,$ ( Shpërndarja gama ) janë të pavarura, atëherë ${\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})$
• Nëse $X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ ( Shpërndarja beta ) atëherë ${\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$
• Në mënyrë të barabartë, nëse $X\sim F(d_{1},d_{2})$, atëherë ${\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ .
• Nëse $X\sim F(d_{1},d_{2})$, atëherë ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X$ ka një shpërndarje beta kryesore : ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$ .
• Nëse $X\sim F(d_{1},d_{2})$ atëherë $Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X$ ka shpërndarjen hi-katror $\chi _{d_{1}}^{2}$
• $F(d_{1},d_{2})$ është e njëvlershme me shpërndarjen e shkallëzuar të Hotelling në T-katror ${\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)$ .
• Nëse $X\sim F(d_{1},d_{2})$ atëherë $X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})$ .
• Nëse $X\sim t_{(n)}$ - Shpërndarja t-së studentit - më pas: $${\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}$$
• Shpërndarja F është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit 6
• Nëse $X$ dhe $Y$ janë të pavarura, me $X,Y\sim$ Laplace( μ, b ) atëherë $${\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$$
• Nëse $X\sim F(n,m)$ atëherë ${\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$ ( Shpërndarja e Fisher's z )
• Shpërndarja joqendrore <i id="mwAQI">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen $F$ nëse $\lambda =0$ .
• Shpërndarja e dyfishtë joqendrore <i id="mwAQc">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen $F$ nëse $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$
• Nëse $\operatorname {Q} _{X}(p)$ është kuantili $p$ për $X\sim F(d_{1},d_{2})$ dhe $\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$ është kuantili $1-p$ për $Y\sim F(d_{2},d_{1})$, atëherë $$\operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.$$
• Shpërndarja $F$ është një shembull i shpërndarjeve të raporteve
• W -shpërndarja është një parametrizim unik i shpërndarjes $F$.