Spani linear

Në matematikë, span linear (e quajtur edhe direku linear ^[1] ose thjesht shtrirja ) i një grupi vektorësh $S$ (nga një hapësirë vektoriale ), e shënuar $span(S)$ , ^[2] përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve në $S$ ^[3] Për shembull, dy vektorë të pavarur linearisht shtrihen në një rrafsh . Hapësira lineare mund të karakterizohet ose si prerje e të gjitha nënhapësirave lineare që përmbajnë $S$ , ose si nënhapësirë më e vogël që përmban $S$ . Hapësira lineare e një grupi vektorësh është pra vetë një hapësirë vektoriale. Hapësirat mund të përgjithësohen në matroide dhe module.

Për të shprehur se një hapësirë vektoriale $V$ është një hapësirë lineare e një nëngrupi $S$ , zakonisht përdoren frazat e mëposhtme - ose: $S$ span (gjeneron) $V$ , S është një bashkësi e shtrirjes së $V$ , $V$ shtrihet/gjenerohet nga $S$ , ose S është një gjenerator ose bashkësi gjeneratore e V.

Përkufizimi

Duke pasur parasysh një hapësirë vektoriale V mbi një fushë K, hapësira e një bashkësie vektorësh S (jo domosdoshmërisht e fundme) përcaktohet të jetë prerja W e të gjitha nënhapësirave të V që përmbajnë S. W-së i referohet si nënhapësirë e shtrirë nga S, ose nga vektorët në S . Anasjelltas, S quhet një bashkësi shtrirëse e W, dhe ne themi se S span W .

Përndryshe, hapësira e S mund të përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve të fundme lineare të elementeve (vektorëve) të S, që rrjedh nga përkufizimi i mësipërm. ^[4] ^[5] ^[6] ^[7]

$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$

Shembuj

Hapësira reale vektoriale $\mathbb {R} ^{3}$ ka {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} si një bashkësi i të shtrirjes. Ky grup i veçantë përfshin gjithashtu një bazë . Nëse (−1, 0, 0) do të zëvendësohej me (1, 0, 0), do të përbënte gjithashtu bazën kanonike të $\mathbb {R} ^{3}$ .

Një grup tjetër shtrirje për të njëjtën hapësirë jepet nga {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,¹⁄₂, 3), (1, 1, 1)}, por kjo bashkësi nuk është bazë, sepse është linearisht e varur .

Bashkësia e monomëve xⁿ, ku n është një numër i plotë jo negativ, përfshin hapësirën e polinomeve .

^ Encyclopedia of Mathematics (2020). Linear Hull.
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Axler (2015) p. 29, § 2.7
^ Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Roman (2005) pp. 41-42
^ MathWorld (2021) Vector Space Span.

[1] Encyclopedia of Mathematics (2020). Linear Hull.

[:0-2] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] Axler (2015) p. 29, § 2.7

[4] Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13

[:02-5] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[6] Roman (2005) pp. 41-42

[7] MathWorld (2021) Vector Space Span.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]