Hapësira vektoriale

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search
Mbledhja vektoriale dhe shumëzimi skalar vektorial: një vektor V (blu), mblidhet me një vektor tjetër w (i kuqe, ilustrimi i sipërm). Më poshtë,w është zgjeruar me një faktor dyfish, duke dhënë shumën v + 2·w.

Një hapësirë ​​vektoriale është një strukturë matematikore e formuar nga një koleksion vektorësh: objekte që mund të mblidhen së bashku dhe shumëzohen me numra, të quajtur skalarë në këtë kontekst. Skalarët shpesh merren të jenë numra realë, por mund të marrim në konsideratë hapësira vektoriale me shumëzim (prodhim) skalar me një numër kompleks , numër racional , ose në mënyrë edhe më të përgjithshme me fushat. Veprimet e mbledhjes vektoriale dhe shumëzimit (ose prodhimit) skalar duhet të përmbushin disa kërkesa të caktuara, të quajtura aksioma, të renditura më poshtë. Një shembull e një hapësirë ​​vektoriale është ajo e vektorëve Euklidian të cilët përdoren shpesh për të përfaqësuar madhësi fizike të tilla si forca: çdo dy forca (të llojit të njëjtë) mund të mblidhen për të dhënë një të tretë, dhe prodhimi i një vektori force me një faktor real (numër real)është një tjetër vektor force. Në të njëjtën mënyrë, por në një kontekst më gjeometrik , vektorët që përfaqësojnë zhvendosje në një plan apo në hapësirën ​​tre dimensionale formojnë gjithashtu një hapësirë vektoriale.

Hapësirat vektoriale janë objekti kryesor i studimit i algjebra lineare"algjebrës lineare dhe janë të kuptuara mirë nga kjo pikëpamje, sepse hapësirat vektoriale janë të karakterizuara nga dimensioni (ose përmasa), e cila, me përafërsi, përcakton numrin e drejtimeve të pavarur në hapësirë. Teoria është zgjeruar më tej duke futur në një hapësirë ​​vektoriale disa struktura të tjera, të tilla si norma ose produkti i brendshëm. Hapësira të tilla lindin natyrshëm në analizën matematike, kryesisht në trajtën e hapësirave funksionale me përmasa të pafundme,vektorët e të cilave janë të funksione. Problemeve analitike kërkojnë aftësinë për të vendosur nëse një sekuencë vektorësh konvergon tek një vektor të dhënë. Kjo është arritur duke marrë në konsideratë hapësirat vektoriale me të dhëna të tjera, më së shumti hapësira të pajisura me një të topologji të përshtatshme, duke lejuar shqyrtimin e koncepteve si afërsia dhe vazhdimësia. Këto hapësira ​​vektoriale topologjike , në mënyrë të veçantë hapësira e Banach dhe hapësira e Hilbertit , kanë një teori më të pasur.

Historikisht, idetë e para që çuan tek hapësirat vektoriale filluan me gjeometrinë analitike në shekullin e 17-të , matricat, sistemet e ekuacioneve linear,dhe vektorët Euklidiane. Trajtimi modern e më abstrakt, i formuluar së pari nga Giuseppe Peano ndodhi në fund të shekullit të 19-të, përfshin objektet më të përgjithshme se hapësira ​​Euklidiane, por shumiva e teorisë mund të shihet si një zgjerim i ideve klasike gjeometrike si vija ,plan dhe koncepteve analoge shumë-dimensionale.

Sot, koncepti i hapësirave vektoriale zbatohet në të gjithë degët e matematikës, shkencës dhe inxhinierisë. Ato janë nocioni i përshtatshëm linear-algjebrik kur merremi me studimin e sistemeve të ekuacioneve lineare; më së shumti ato ofrojnë një shpjegim teorik për metoda si zgjerimi i Furierit, i cili është zbatuar për programe për kompresimin e imazheve ; gjithashtu ato ofrojnë një mjedis që përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale pjesore. Për më tepër, hapësirave vektoriale japin një rrugë abstrakte, me pavarësi nga sistemet koordinative në lidhje me studimin e objekteve gjeometrike dhe fizike të tilla si tensorët . Kjo nga ana tjetër lejon shqyrtimin e vetive lokale të manifoldeve me anë të teknikave lineare. Hapësira vektoriale mund të përgjithësohen në disa drejtime, duke çuar në nocionet më të avancuar në gjeometri dhe në algjebën abstrakte.

Shembulli i parë: vektorë në plan[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Koncepti i hapësirës ​​vektoriale do të shpjegohet së pari duke përshkruar dy shembuj të veçantë.Shembulli i parë i një hapësire ​​vektoriale përbëhet nga një shigjetë në një plan, i cili fillon tek një pikë fikse. Kjo përdoret në fizikë për të përshkruar forcën ose shpejtësitë. Duke marrë parasysh çdo dy shigjeta të tilla,v dhew, paralelogrami që shtrihet mbi këto dy shigjeta përmban një shigjetë diagonale që gjithashtu e ka fillesën në origjinë. Kjo shigjetë e re quhet shuma e dy shigjetave dhe shënohet v + w. Një tjetër veprim që mund të bëhet me këto shigjeta është për-shkallimi: po të kemi një numër pozitiv real a, shigjeta ka të njëjtin drejtim si v, por është e zgjeruar ose e zvogëluar sepse kemi kemi shumëzuar gjatësine e saj mea, ky veprim quhet shumëzimi i v me a . Ajo shënohet me a · v. Kur aështë negative, a · v përcaktohet si shigjeta që drejtohet në drejtim të kundërt.

Trajtimi i mëposhtëm tregon disa shembuj: në qoftë se a = 2, vektor rezultant a · w ka të njëjtin drejtim si w, por është i shtriqur sa dyfishi i gjatësisë të w (figura në të djathtë më poshtë). Në mënyrë ekuivalente 2 ·w është shuma w + w. Për më tepër, (−1) · v = −v ka drejtim të kundërt dhe të njëjtën gjatësi si v (vektori blu i drejtuar poshtë në imazhin në të djathtë).

Mbledhja Vektoriale: shuma v +w (në të zezë) e vektorëve v (blu) dhe w (e kuqe) është treguar. Shumëzimi skalar (ose prodhimi skalar):. të shumëfishatat −v dhe 2 ·w janë treguar