Paralelogrami

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Paralelogrami

Në gjeometrinë euklidiane, paralelogrami është një katërkënësh që i ka brinjët dy e nga dy paralele. Etimologjia (nga greqishja παραλληλ-όγραμμον) pasqyron përkufizimin.

Vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Brinjë përballë janë paralele (nga përkufizimi).
  • Brinjët përballë janë kongruente.
  • Diagonalja e paralelogramit e ndan atë në dy trekëndësha kongruentë.
  • Të dyja diagonalet e ndajnë paralelogramin në dy trekëndësha të njëvlershëm (me sqipërfaqe të barabarta).
  • Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën (vërtetimi është më poshtë).
  • Pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për secilën diagonale.
  • Këndet e kundërt janë kongruentë.
  • Këndet e njëpasnjëshme janë shtues (e kanë masën 180°)

Llojet e paralelogramit[redakto | redakto tekstin burimor]

Formulat e sipërfaqes[redakto | redakto tekstin burimor]

Sipërfaqja e paralelogramit është pjesa blu.
  • Sipërfaqja e paralelogramit në të djathtë (sipërfaqja blu) është sa sipërfaqja e drejtkëndëshit duke i hequr sipërfaqet e dy trekëndëshave.
Sipërfaqja e drejtkëndëshit është
S_\text{drejt} = (B+A) \times H\,
ndërsa sipërfaqja e njërit trekëndësh është
S_\text{tre} = \frac{1}{2} A \times H. \,
Pra, sipërfaqja e paralelogramit është

\begin{align}
S &= S_\text{drejt} - 2 \times S_\text{tre} \\
&= \left( (B+A) \times H \right) - \left( A \times H \right) \\
&= B \times H \\
\end{align}
  • Një formulë tjetër sipërfaqeje, me brinjë B dhe C dhe kënd \theta, është
S = B \cdot C \cdot \sin \theta.\,

Vërteto që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën[redakto | redakto tekstin burimor]

Paralelogrami ABCD

Për të vërtetuar që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën, do të përdorim kongruencën e trekëndëshave


\angle ABE \cong \angle CDE (si kënde ndërrues të brendshëm)
\angle BAE \cong \angle DCE (si kënde ndërrues të brendshëm).

Gjithashtu brinja AB është e barabartë me brinjën DC.

Pra, trekëndëshat ABE dhe CDE janë kongruentë (rasti i dytë i kongruencës; trekëndëshat kanë përkatësisht dy kënde dhe brinjën ndërmjet tyre kongruentë).

Pra,

AE = CE
BE = DE.