Stabiliteti i Sistemeve Lineare të Kontrollit

Hyrje

Stabiliteti është veti kualitative e sistemeve. Shqyrtimi i stabilitetit të sistemeve të rregullimit automatik është hapi i parë drejt dizenjimit të tyre. Duke pasur parasysh shumëllojshmërinë e sistemeve - lineare, jolineare, me invariacë kohore, me varësi kohore - përcaktimi i stabilitetit mund të marrë forma të ndryshme. Mirëpo si veçori themelore, stabiliteti i sistemeve të rregullimit automatik i referohet asaj sa do mundet sistemi të përcjellë funsionin eksitues.^[1] Për një sistem mund të themi se është jo i qëndrueshëm nëse dalja e atij sistemi nuk mund të konrollohet. Për qëllime të analizës dhe sintezës, duhet klasifikuar stabiliteti absolut dhe stabiliteti relativ.

Stabiliteti absolut tregon nëse sistemi është i qëndrueshëm apo jo. Nuk tregon asgjë mbi atë se sa është shkalla e stabilitetit të sistemit apo mbi mënyrën eventuale të përmirësimit të stabilitetit. Për shqyrtimin e stabilitetit absolut zakonisht përdoren kriteret algjebrike të stabilitetit, të cilat në menyrë relativisht të shpejtë na sjellin tek rezultatet.<
Stabiliteti relativ përveç informatës mbi stabilitetin absolut gjithashtu tregon edhe për shkallën e stabilitetit të sistemit. Pra tregon se sa mund të ndryshohen vlerat e parametrave të sistemit dhe cili do jetë ndikimi i tyre në ndryshimin e shkallës së stabilitetit. Pikërisht kjo veti bën që stabiliteti relativ në njëfarë mënyre të jetë ajo çfarë mendohet kur flitet për stabilitetin e sistemeve.

Stabiliteti shpeshherë përcaktohet si vetia e një objekti apo sistemi që të kthehet në gjëndje fillestare pas ndaljes së ndikimit të shkakut, i cili e ka zhvendosur nga ajo gjendje.^[2] Gjatë analizës dhe sintezes së sistemeve të kontrollit, gjithmon tentohet të arrihet tek një formë lineare e përshkrimit të sistemit në menyrë që përshkrimi i sistemeve të bëhet më anë të aparatit matematik jo të komplikuar.

Historiku i Studimit të Stabilitetit të Sistemeve Rregulluese

Stabiliteti: Hyrje e Kufizuar - Dalje e Kufizuar (HKDK)

Ky përcaktim i stabilitetit është më i natyrshmi. Në bazë të kësaj pikpamje sistemi do jetë i qëndrueshëm kur për një hyrje të kufizuar (të fundme) presim që poashtu edhe dalja të jetë e kufizuar (e fundme).^[3] Kushtin e stabilitetit HKDK do e nxjerrim duke u nisur nga fakti se për sistemet lineare, dalja paraqet konvolumin e hyrjes $u(t)$ me përgjigjen impulsive $g(t)$ të sistemit:

$y(t)=\int _{0}^{\infty }u(t-\tau )g(\tau )d\tau$

Marrim vlerën absolute të të dyja anëve dhe gjejmë:

$|y(t)|=|\int _{0}^{\infty }u(t-\tau )g(\tau )d\tau |$

ose

$|y(t)|\leq \int _{0}^{\infty }|u(t-\tau )||g(\tau )|d\tau$

dhe tani, nëse supozojm se $u(t)$ është e kufizuar:

$|u(t)|\leq M$

ku $M$ një konstante e qfardoshme pozitive por e fundme. Atëherë:

$|y(t)|\leq M\int _{0}^{\infty }|g(\tau )|d\tau$

dhe pikërisht nga kjo mund të konludojmë se dalja e sistemit do jetë e fundme, pra sistemi do jetë stabil në kuptimin HKDK nëse:

$\int _{0}^{\infty }|g(\tau )|d\tau <\infty$

Pra sistemi do jetë HKDH stabil nëse përgjigja impulsive $g(t)$ e atij sistemi është absolutisht e integrueshme. Andaj analiza e sistemeve lineare të kontrollit për stabilitetin në kuptimin HKDK mund të bëhet duke studiuar përgjigjen impulsive të atij sistemi^[4]

Stabiliteti dhe Domeni Kompleks

Për sistemet me një hyrje dhe një dalje (SISO sistemet) stabiliteti mund të shqyrtohet duke analizuar funksionin transmetues të tyre, respektivisht duke analizuar lokacionin e rrënjeve të ekuacionit karakteristik të atij sistemi. Varësisht nga pozicioni i këtyre rrënjëve, në domenin kohor do fitonim përgjigjet përkatëse që divergjojnë apo konvergjojnë.

Sistemi me riveprim njësi

Për sistemin me riveprim njësi të treguar në figurë, funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur do jetë:

$G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {KC(s)P(s)}{1+KC(s)P(s)}}$

kurse ekuacioni karakteristik do jetë:

$1+KC(s)P(s)=0$

Tani do dallojmë disa raste varësisht nga lokacioni i poleve.

Sistemi Stabil

Rrënjet e ekuacionit karakteristik të sistemit mund të jenë reale apo komplekse.

$1+KC(s)P(s)=(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n})=0$ ku $n$ është rendi i sistemit.

$s_{i}=Re(s_{i})+jIm(s_{i})$

Stabiliteti i sistemit varet vetem nga parashenja e pjesës reale të rrënjeve. Sistemi do jetë stabil kur pjesa reale e të gjitha rrënjëve të ekuacionit karakteristik është negative. Pra kur:

$Re(s_{1}),Re(s_{2}),...,Re(s_{n})>0$

Pra kur të gjitha polet e sistemit ndodhen në anën e majtë të domenit kompleks.

Arsyeja qëndron se pjesa reale e rrënjëve është përgjegjëse për procesin kalimtarë, andaj kur kjo pjesë është negative, termat përkatës do shuhen me kalimin e kohës.

Sistemi Jostabil

Përgjigja kohore e sistemit jostabil për pozita të ndryshme të poleve

Në rastin kur së paku njëri nga rrënjët ekuacionit karakteristik ka pjesën reale pozitive, dalja e sistemit do divergjojë me kohën andaj sistemi i tillë është jostabil. Pra kur:

$Re(s_{1}),\vee Re(s_{2}),\vee ...Re(s_{n})>0$

Kjo vjen si rezultat i asaj se njëri nga antarët e sistemit ka komponentët eksponenciale ngritëse andaj amplituda e sinjalit dalës do rritet me kohën dhe eventualisht nuk do mund të kontrollohet.

Eshtë shumë me rëndësi të theksohet se edhe pse objektet jostabile konsiderohen si përgjithësisht të papërdorshmë^[5], ato mund të jenë pjesë përbërëse e sistemeve stabile^[6]

Sistemet në Kufi të Stabilitetit

Një rast interesant është kur ndonjëri nga polet e sistemit ka natyë pë pastër imagjinare. Pra kur

$s_{i}=0+jIm(s_{i})$

Sistemi i tillë është margjinalisht stabil apo oshilues. Varësisht se nga cili përfukizim i stabilitetit e shikojmë këtë sistem, mund të konkludohet se sistemi është stabil dhe jostabil. Sistemet, të cilët ndërtohet pikërisht me qëllimin që njërin nga polet ta kenë të pastër imagjinarë quhen sisteme oshiluese dhe nga pikëpamja funksionale mund të konsiderohen stabil.

Metodat për Përcaktimit e Stabilitetit

Ekzistojnë metoda më anë të të cilave mund të shqyrtohet stabiliteti absolut dhe shkalla e stabilitetit të sistemeve rregulluese. Varësisht nga natyra i ndajmë në^[7]:

Kriteret algjebrike të stabilitetit të cilat tregojnë vetëm stabilitetin absolut të sistemit, pra treguar se sa është sistemi stabil apo në çfarë menyrë mund të përmirësohet stabiliteti. Zakonisht këto kritete kërkojnë që të njihen ekuacionet diferenciale që përshkruajnë dinamikën e sistemit. Si kritere më të shpeshta janë Kriteri i Hurwitz-it, Kriteri i Mihajllovit dhe Kriteti i Routh-it. Të dy këto metoda tregojnë vetëm nëse sistemi ka ndonjë pol në pjesën e djathë të rrafshit kompleks.
Metodat graf-analitike të stabilitetit me anë të të cilave poashtu caktojmë edhe shkallën e stabilitetit të sistemit. Përveq analizës analitike poashtu duhet përdorur edhe diagramet polare dhe karakteristikat frekuencore të sistemve. Përparësitë e metodave grafoanalitike janë shumë të mëdha dhe kanë përdorim të përditshëm në sintezën e sistemeve të rregullimit. Vlen të përmendim Kriterin e Nyquist-it dhe Kriterin e Nyquist-it për diagramin Bode. Këto metoda origjinën e kanë nga parimi i argumentit në analizën komplekse.

Shiko Gjithashtu

Referime

^ F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 9
^ Leksikon Jugoslovenskog leksikografskog zavodna, Zagreb, 1974
^ A M Lyapunov, General Problem of the Stability Of Motion 1950
^ H P Hsu, Schaum's Outlines:Singals and Systems (1995), faqe 59
^ F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 72
^ A Grapci, Rregullimi Automatik i Sistemeve Lineare (1985), faqe 134
^ A Skeja, Sistemet e Rregullimit Automatik, Ligjërata të autorizuara, Fiek 2010

[1] F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 9

[2] Leksikon Jugoslovenskog leksikografskog zavodna, Zagreb, 1974

[3] A M Lyapunov, General Problem of the Stability Of Motion 1950

[4] H P Hsu, Schaum's Outlines:Singals and Systems (1995), faqe 59

[5] F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 72

[6] A Grapci, Rregullimi Automatik i Sistemeve Lineare (1985), faqe 134

[7] A Skeja, Sistemet e Rregullimit Automatik, Ligjërata të autorizuara, Fiek 2010

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]