Testi hi-katror

Shpërndarja në katror Chi, duke treguar χ2 në boshtin x dhe vlerën p (probabiliteti i bishtit të djathtë) në boshtin y .

Një test hi-katror (gjithashtu shënuar χ2 ) është një test hipoteze statistikore që përdoret në analizën e tabelave të kontigjencës kur madhësitë e kampionit janë të mëdha. Në terma më të thjeshtë, ky test përdoret kryesisht për të hetuar nëse dy variabla diskretë ( dy dimensione të tabelës së kontigjencës ) janë të pavarura në ndikimin e statistikave të testit (vlerat brenda tabelës ). Testi është i vlefshëm kur statistika e testit ndjek shpërndarjen hi-katror sipas hipotezës zero, veçanërisht testi hi-katror i Pirsonit dhe variantet e tij. Testi hi-katror i Pirsonit përdoret për të përcaktuar nëse ka një ndryshim domethënës statistikor midis frekuencave të pritura dhe frekuencave të vëzhguara në një ose më shumë kategori të një tabele kontigjence . Për tabelat e kontigjencës me madhësi më të vogla të mostrës, përdoret një test i saktë i Fisheri .

Në zbatime standarde të këtij testi, vëzhgimet klasifikohen në klasa ndërsjellazi përjashtuese. Nëse hipoteza zero pohon se nuk ka dallime midis klasave në popullatë është e vërtetë, statistika e testit e llogaritur nga vëzhgimet ndjek një shpërndarje frekuence χ . Qëllimi i testit është të vlerësojë se sa kishin që të merreshin frekuencat e vëzhguara duke supozuar se hipoteza zero është e vërtetë.

Statistikat e testimit që ndjekin një shpërndarje χ2 ndodhin kur vëzhgimet janë të pavarura. Ekzistojnë gjithashtu teste χ2 për testimin e hipotezës zero të pavarësisë së një çifti variablash të rastësishëm bazuar në vëzhgimet e çifteve.

Testi hi-katror i Pearson

Në vitin 1900, Pearson botoi një paper mbi testin χ2 i cili konsiderohet të jetë një nga themelet e statistikës moderne. Në këtë letër, Pearson hetoi një test të mirësisë së përshtatjes.

Supozoni se n vëzhgime në një zgjedhje të rastësishme nga një popullatë klasifikohen në k klasa ndërsjellazi përjashtuese me numrat përkatës të vëzhguar x_i (për i = 1,2,…,k ), dhe një hipotezë zero jep probabilitetin p_i që një vëzhgim të bjerë në klasën e i të. Pra kemi numrat e pritur m_i = np_i i për të gjithë i, ku

${\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n\end{aligned}}$

Pearson propozoi që, në rast se hipoteza zero është e saktë, pasi n → ∞ shpërndarja kufizuese e madhësisë së dhënë më poshtë është shpërndarja χ2 .

$X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}$

Shembull testi hi-katror për të dhënat kategorike

Supozoni se ekziston një qytet me 1,000,000 banorë të ndarë në katër lagje: A, B, C dhe D . Është marrë një kampion rastësor prej 650 banorësh të qytetit dhe profesioni i tyre është regjistruar si "jakë e bardhë", "jakë blu" ose "pa jakë" . Hipoteza zero është se lagja e banimit të çdo personi është e pavarur nga tipi i profesionit të personit. Të dhënat janë tabeluar si:

	A	B	C	D	Totali
Jakë e bardhë	90	60	104	95	349
Jakë blu	30	50	51	20	151
Pa kollare	30	40	45	35	150
Totali	150	150	200	150	650

Le të marrim kampionin që jeton në lagjen A, 150, për të vlerësuar se çfarë përqindje e të gjithë 1,000,000 banorëve jetojnë në lagjen A.Në mënyrë të ngjashme marrim ${\frac {349}{650}}$ vlerësuar se çfarë përqindje e 1,000,000 janë punëtorë me jakë të bardhë. Me supozimin e pavarësisë nën hipotezë ne duhet të "presim" që numri i punëtorëve jakë të bardhë në lagjen A të jetë

$150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54$

Pastaj në atë "qelizë" të tabelës, kemi

${\frac {\left({\text{vëzhguar}}-{\text{pritur}}\right)^{2}}{\text{pritur}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11$

Shuma e këtyre madhësive mbi të gjitha qelizat është statistika e provës; në këtë rast, $\approx 24.57$ . Sipas hipotezës zero, kjo shumë ka afërsisht një shpërndarje hi-katrore, numri i shkallëve të lirisë së së cilës është

$({\text{numri i rreshtave}}-1)({\text{numri i kolonave}}-1)=(3-1)(4-1)=6$

Nëse statistika e testit është çuditërisht e madhe sipas asaj shpërndarjeje në katror, atëherë hipoteza zero e pavarësisë refuzohet.

Aplikimet

Në kriptanalizë, testi hi-katror përdoret për të krahasuar shpërndarjen e tekstit të thjeshtë dhe (ndoshta) të deshifruar. Vlera më e ulët e testit do të thotë se deshifrimi ishte i suksesshëm me probabilitet të lartë. Kjo metodë mund të përgjithësohet për zgjidhjen e problemeve moderne kriptografike.

Në bioinformatikë, testi hi-katror përdoret për të krahasuar shpërndarjen e disa vetive të gjeneve (p.sh., përmbajtja gjenomike, shkalla e mutacionit, grupimi i rrjetit të ndërveprimit, etj.) që u përkasin kategorive të ndryshme (p.sh., gjenet e sëmundjes, gjenet thelbësore, gjenet në një kromozom të caktuar etj. ).