1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Në matematikë, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· është një seri e pafundme, kushti i të cilës janë numrat natyrorë të njëpasnjëshëm, për shenjat e alternuara të dhënë. Duke përdorur simbolin e mbledhjes sigma, shuma e m kushteve të serisë mund të të shprehet si

\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.

Seria e pafundme devijon, që do të thotë se sekuenca e saj e shumave të pjesshme, (1, −1, 2, −2, ...), nuk tenton drejt ndonjë kufiri të fundmë. Megjithatë, në mesin e shekullit të XVIII-të, Leonhard Euler shkroi atë që ai ka pranuar të jetë një ekuacion paradoksale:

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Një shpjegim rigoroz i këtij ekuacioni nuk do të arrijnë deri shumë vonë. Duke filluar nga viti 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel dhe të tjerë, hulumtuan metodat e definuara mirë për të caktuar shuma të përgjithshme në seritë divergjente—duke përfshirë interpretimet e reja të përpjekjeve të Euler-it. Më pas, shumë prej këtyre metodave të mbledhjes lehtësisht e caktonin 1 − 2 + 3 − 4 + ... si një "shumë" e ¹⁄₄. Mbledhja Cesàro është një nga metodat e pakta që nuk e mbledh shumën e 1 − 2 + 3 − 4 + ..., kështu që seria është një shembull ku kërkohet një metodë pak më e fortë, siç është mbledhja Abel.

Seria 1 − 2 + 3 − 4 + ... është shumë e përafërt me serinë e Grand-it 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euleri i trajton këto si dy raste të veçanta të 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + ... për një n arbitrare, një linjë e hulumtimeve e zgjeroj punën e tij mbi problemin e Bazelit dhe duke e çuar drejt ekuacioneve funksionale të asaj që ne sot e njohim si funksioni Dirichlet eta dhe funksioni Riemann zeta.

Shpjegimi i paradoksit

Në matematikë, në qoftë se një grup i rregullave është në përputhje me vetveten, atëherë ai mund të punojë me këto rregulla. Sipas përcaktimit të "mbledhjes" dhe "barazimit" me të cilat shumica e njrëzve janë mësuar, nuk ka kuptim të thuhet se 1 − 2 + 3 − 4 + ... është e barabartë me diçka. Megjithatë, ka disa mënyra të tjera, disi më të përgjithshme që përcaktojnë "mbledhjen" dhe "barazimin" që nuk janë në kundërshtim me mënyrat tona të zakonshme, aritmetika e fundme, por të cilat prodhojnë disa rezultate tjera befasuese me shuma të pafund. Një mënyrë për të parë se si ajo mund të funksionojë është nëse seria (1 − 2 + 3 − 4 + ...) i shtohet vetvetes katër herë në mënyrën e duhur, duke shkaktuar që të gjitha kushtet pozitive dhe negative të nxirren jashtë, përveç ati fillestar, 1-shi. Kështu, pasi katë kopje të serisë shtohen deri në 1, seria në vetvete do të barazohet me 1/4.

  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

Divergjenca

Kushtet e serisë (1, −2, 3, −4, ...) nuk i qasen numrit 0; megjithatë 1 − 2 + 3 − 4 + ... devijon nga kushtet testues. Për referencë më vonë, ajo do të jetë e dobishme për të parë divergjencat në një nivel themelor. Sipas definicionit, konvergjenca apo divergjenca e një serie të pafundme është përcaktuar nga konvergjenca apo divergjenca e shumave të pjesshme të sekuencës së saj, si dhe shuma e pjesshme e 1 − 2 + 3 − 4 + ... janë:^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

Kjo sekuence është e dukshme për përfshirjen e çdo numri të plotë saktësisht një herë—edhe në 0 në qoftë se llogarit shumën e pjesshme të zbarzët—dhe në këtë mënyrë formimin e një grupi numëruesish të numrave të plotë $\mathbb {Z}$ .^[2] Sekuenca e shumave të pjesshme tregon qartë se seritë nuk konvergojnë në një numër të caktuar (për ndonjë limit të propozuar x, ne mund të gjejmë një pikë përtej së cilës shumat e mëvonshme të pjesshme janë të gjitha jashtë intervalit [x-1, x+1]), pra 1 − 2 + 3 − 4 + ... devijon.

Referime

^ Hardy p.8
^ Beals p.23

Lidhje të jashtme

Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction (në anglisht). Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
Hardy, G. H. (1949). Divergent Series (në anglisht). Clarendon Press. xvi+396. ISBN 978-0-8218-2649-2. LCCN 49005496. MR 0030620. OCLC 808787.

[1] Hardy p.8

[2] Beals p.23

[1]

[2]