Derivati parametrik

Në llogaritje, një derivat parametrik është një derivat i një ndryshoreje të varur në lidhje me një ndryshore tjetër të varur i cili merret kur të dy ndryshoret varen nga një ndryshore e tretë e pavarur, që zakonisht mendohet si madhësia "kohë" (d.m.th., kur ndryshoret e varura janë $x$ dhe $y$ dhe jepen me ekuacione parametrike të varura nga $t$ ).

Derivati i parë

Le të jenë $x(t)$ dhe $y(t)$ koordinatat e pikave të lakores të shprehura si funksione të një ndryshoreje t :

$y=y(t),\quad x=x(t).$

Derivati i parë i llogaritur për këto ekuacione parametrike është

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},$

ku shënimi ${\dot {x}}(t)$ tregon derivatin e x në lidhje me t . Kjo mund të nxirret duke përdorur rregullin e zinxhirit për derivatet:

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

dhe duke i ndarë të dyja anët me ${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$ për të dhënë ekuacionin e mësipërm.

Derivati i dytë

Derivati i dytë i një ekuacioni parametrik jepet nga relacioni:

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}$$

Shembull

Për shembull, merrni parasysh bashkësinë e funksioneve ku:

$x(t)=4t^{2}\,$

dhe

$y(t)=3t.\,$

Diferencimi i të dy funksioneve në lidhje me ndryshoren t çon në

${\frac {dx}{dt}}=8t$

dhe

${\frac {dy}{dt}}=3,$

përkatësisht. Duke i zëvendësuar këto në formulën për derivatin parametrik, marrim

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},$

ku ${\dot {x}}$ dhe ${\dot {y}}$ kuptohen si funksione të t .