Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Në matematikë dhe fizikë , ekuacioni i Laplasit është një ekuacion diferencial i pjesshëm i rendit të dytë i emërtuar sipas Pierre-Simon Laplace-it , i cili i pari studioi vetitë e tij. Kjo shpesh shkruhet si
∇
2
f
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}
ose
Δ
f
=
0
,
{\displaystyle \Delta f=0,}
ku
Δ
=
∇
⋅
∇
=
∇
2
{\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
është operatori i Laplasit,
[note 1]
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
është operatori i divergjencës (i simbolizuar gjithashtu "div"),
∇
{\displaystyle \nabla }
është operatori
i gradientit (i shënuar gjithashtu "grad"), dhe
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
është një funksion me vlera reale dy herë i diferencueshëm. Prandaj, operatori i Laplasit hartëzon një funksion skalar në një funksion tjetër skalar.
Në koordinata karteziane ,
∇
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
Në
koordinatat cilindrike ,
∇
2
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
ϕ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
Në
koordinatat sferike , duke përdorur
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
Konventa,
∇
2
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}
Më në përgjithësi, në
koordinatat arbitrare lakore (
ξ
i
{\displaystyle \xi ^{i}}
) ,
∇
2
f
=
∂
∂
ξ
j
(
∂
f
∂
ξ
k
g
k
j
)
+
∂
f
∂
ξ
j
g
j
m
Γ
m
n
n
=
0
,
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}
ose
∇
2
f
=
1
|
g
|
∂
∂
ξ
i
(
|
g
|
g
i
j
∂
f
∂
ξ
j
)
=
0
,
(
g
=
det
{
g
i
j
}
)
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}
ku
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
është tensori metrik Euklidian në lidhje me koordinatat e reja dhe
Γ
{\displaystyle \Gamma }
tregon simbolet e tij Christoffel .
Ekuacioni i Laplasit në dy ndryshore të pavarura në koordinata karteziane ka formën
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
≡
ψ
x
x
+
ψ
y
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}
Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "note", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="note"/>
