Infinitezimale

Infinitezimale ( nga fjala latine moderne infinitesimus )është përdorur për të shprehur idenë e një objekti kaq të vogël saqë nuk mund të matet ose të krahasohet me asnjë objekt tjetër. Në jetën e përditshme termi përdoret për objekte që janë më të vogla se çdo njesi matëse. Megjithatë infinitezimale mund të përdoret edhe për objekte shumë të vogla por jo domosdoshmërisht pafundësisht të vogla.

Përpara shekullit të nëntënëdhjetë asnjë prej koncepteve matematike mbi infinitezimelet të pranuara sot nuk ishin të përkufizuara formalisht, por shumë prej koncepteve, edhe pse intuitivisht, ishin të gjendura . Themeluesit e llogaritjes, Leibnitz, Newton, Euler, Lagrange,Bernoullis dhe shumë të tjerë, përdorshin infinitezimalet duke arritur rezultate mjaft korrekte edhe pse asnjë përkufizim formal nuk ekzistonte.

Pak histori mbi infinitezimalet

I pari matematikan që përdori infinitesimalet ishte Arkimedi (c. 250 BC)^[1].

Kur Newton dhe Leibnitz zhvilluan llogaritjet infinitezimale pikërisht duke përdorur infinitezimalet. Argumentimi tipik thotë:

Për të gjetur derivatin f′(x) e funksionit f(x) = x², lejmë dx të jetë infinitezimale. Atëherë kena,

$f'(x)\,$	$={\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\,$
	$={\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+(\mathrm {d} x)^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}\,$
	$=2x+\mathrm {d} x\,$
	$=2x\,$

përderisa dx është pafundësisht i vogël.

Ky shtjellim, terheqës fillimisht, dhe që jep rezultate të sakta, nuk është plotësisht me vend. Përdorimi i infinitezimales është kritikuar nga Bishop Berkeley në vepren e tij The Analyst.^[2] Problemi qendronte në faktin që dx përdoret fillimisht si një vlerë jo zero (ngaqë pjestojmë me te), por më vonë e heqim prej llogritjes si të ishte zero.

Përkufizimi naiv i infinitezimales është: një numër që në vlerë absolute është më i vogël se çdo numër jo zero. Këtë përkufizim mund ta kundërshtojmë duke përdorur një nga vetitë e numrave real . Konsiderojmë numrat pozitiv nëse h është një infinitezimal pozitiv do të thotë që h është numi pozitiv më i vogël ,po h/2çfarë është atëherë ? Por nëse h është i papjestueshëm, a mbetet prapëseprapë një numër? Gjithashtu mund të përfundojmë se e anasjellta e një infinitezimali është infiniti, pra numri më i madh që rrealisht nuk ekziston .

Për të zgjidhur këto probleme sigurisht mund të ndryshojmë disa veti të numrave rreal për të mundësuar përdorimin të përpiktë të infinitezimales. Kjo është e mujtur duke futur disa modele të reja ndër të cilat hiperrealet dhe numërat duale

Ishte vetëm në gjysmen e dytë të shekullit të nëntëmedhjetë që llogaritjes infinitezimale ju dhanë bazat formale matematike nga Karl Weierstrass dhe shumë tjerëve duke përdorur nocioninn e limitit. Në shekullin e XX u mundesua prova e parë e një përdorimi të përpiktë të infinitezimales. Asnjëra prej formulimeve nuk ishte e gabuar, dhe të dyja japin relultatet e duhura të përdorura korrektësisht.

Përdorimi modern i infinitezimales

Artikuj kryesore: Analiza jo-standarte

Infinitezimalet pra janë përfundimisht veçse një koncept. Nëse epsiloni është infinitezimal në krahasim me një klase numrash do të thotë që epsiloni nuk bën pjesë tek kjo klasë numrash. Kjo është pika kyqe për të kuptuar infinitezimalet: infinitezimale detyrimisht do të thotë infinitezimale në krahasim me çdo lloj klase numrash.

Udha drejt formalizimit

Të provosh ose të mohosh ekzistencen e infinitezimales në mënyren që analiza jo-standarte pranon varet nga modeli i zgjedhur për studimin dhe tërësia e aksiomave të përdorura. Ne do të konsiderojmë këtu vetëm sistemet ku infinitezimalet ekzistojnë .

Në 1936 Maltsev provoi teorinë e ngjeshmërisë. Kjo teoremë është themelore për ekzistencen e infinitezimales ngaqë provon se është e mujtur ta formalizosh atë. Një shkak i kësaj teoreme është që nëse ekziston një numër sistemesh në të cilat është e vërtetë që për çdo numër natural n gjendet një x i tillë që 0 < x < 1/n, atëherë ekziston një zgjerim i këtij sistemi numrash në të cilën është e vërtetë që ekziston një x i cili plotëson kushtin që për çdo n të kena 0 < x < 1/n. Mundësia për të kalur nga "ekzistojnë" në "për çdo" është thelbësore. Pohimi i parë është i vërtetë në bashkësinë e numrave rreal siç jepet tek ZFC teoria e bashkësive : për çdo numër natural n është e mujtur të gjëndet një x mes 1/n dhe zeros, por ky numër varet nga vlera e n. Fillimisht i japim një vlerë n-s, pastaj gjejmë një xtë përshtatshëm. Në shprehjen e dytë, pohimi thotë që është një x (të pakten një), fillimisht i zgjedhur, i cili ndodhet mes 0 and 1/n për çdo n. Në këtë rast x është një infinitezimal. Kjo gjë nuk është e vërtetë bë (R) sipas ZFC. Megjithatë, teorema provon që ka një model (sistem numërash) në të cilin pohimi është i vërtetë. Pyetjet që dalin vetiu: çfarë është një model? Cilat janë vetitë e tij? A ka vetëm një model të tillë?

Në fakt ka shumë mënyra për të ndërtuar një bashkësi numrash një-dimensionale linearisht të renditura , por kryesisht, ka dy mënyra të ndryshme për t'ia filluar punës:

1) Të zgjerohet bashkësia e numrave për të pasur më shumë numra se bashkësia e numrave rreal.

2) Të zgjerohen numri i aksiomave kështu që të bëhet e mundur të dallohen numrat infinitezimal dhe jo-infinitezimal edhe në bashkësinë e numrave rreal.

Në 1960, Abraham Robinson mundëoj një bashkësi të tillë duke filluar me mënyren e parë. Bashkësia e zgjeruar u quajt numërat hiperreal dhe zotëron numra që në vlerë absolute janë më të vegjël se çdo numër tjetër. Metoda e përdorur është komplekse por provoj që onfinitezimalet ekzistojnë ne universin e teorisë së bashkesive ZFC . Numrat rreal quhen numra standart ndërsa numrat jo rreal hiperreal quhen jo standart. Në 1977 Edward Nelson mundëoj një bashkësi të tillë duke filluar me mënyren e parë. Aksiomat e zgjeruar formojnë IST, që do të thotë Teoria e brëndshme e bashkësive(Internal set theory) ose ka të bëj me tri aksiomat shtesë : Idealizimi, Standartizimi, Transferimi. Në këto sisteme ne konsiderojmë që gjuha është e zgjeruar në mënyrë që të kemi mundësi që të shprehim fakte rreth infinitesimaleve. Numrat rreal janë ose standart ose jo standart. Një infinitesimal është një numër rreal jo standard i cili është më i vogël, në vlerv absolute, se çdo numër pozitiv rreal standart.

Të gjitha këto mënyra janë mathematikisht të përpikta.

Kjo na lejon ti japim një përkufizim formal dhe të përpiktë për infinitezimalet:

Një përkufizim

Një numër infinitezimal është një numër jo standart vlera absolute e të cilit është më e vogël se çdo numër standart pozitiv dhe jo zero.

Shiko gjithashtu

Shënime

^ Archimedes, Metodat e Teorive Mekanike ;
^ George Berkeley, The Analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician

Referimet

Kujdes faqet web të lidhura më poshtë janë të gjitha në anglisht.

J. Keisler "Elementary Calculus" (2000) University of Wisconsin [1]
K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993) [2]
Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. [3] Arkivuar 18 dhjetor 2007 tek Wayback Machine
"Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic. [4]
"The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.[5] Arkivuar 16 dhjetor 2007 tek Wayback Machine

[1] Archimedes, Metodat e Teorive Mekanike ;

[2] George Berkeley, The Analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician

[1]

[2]