Integrali i Lebegut

Integrali i një funksioni pozitiv mund të interpretohet si zona nën një lakore.

Në matematikë, integrali i një funksioni jo negativ të një ndryshoreje të vetme mund të konsiderohet, në rastin më të thjeshtë, si zona midis grafikut të atij funksioni dhe boshtit $X$ Integrali i Lebegut, i quajtur sipas matematikanit francez Henri Lebesgue, e shtrin integralin në një klasë më të madhe funksionesh. Ai gjithashtu zgjeron domenet në të cilat mund të përcaktohen këto funksione.

Integrali i Lebegut luan një rol të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit, analizën reale dhe shumë fusha të tjera në matematikë. Është emërtuar sipas Henri Lebesgue (1875–1941), i cili e paraqiti integralin (Lebesgue 1904) . Është gjithashtu një pjesë kryesore e teorisë aksiomatike të probabilitetit .

E ç'është integrali i Lebegut?

Integrali i një funksioni pozitiv $f$ ndërmjet kufijve $a$ dhe $b$ mund të interpretohet si zona nën grafikun e $f$. Kjo është e thjeshtë për funksione të tilla si polinomet, por çfarë do të thotë për funksione më ekzotike? Në përgjithësi, për cilën klasë funksionesh ka kuptim "zona nën lakore"? Përgjigja për këtë pyetje ka rëndësi të madhe teorike dhe praktike.

Si pjesë e një lëvizjeje të përgjithshme drejt rigorozitetit në matematikë në shekullin e XIX-të, matematikanët u përpoqën të vendosnin llogaritjet integrale mbi një themel të fortë. Integrali i Riemanit - i propozuar nga Bernhard Riemann (1826-1866) - është një përpjekje e gjerë e suksesshme për të siguruar një themel të tillë. Përkufizimi i Rimanit fillon me ndërtimin e një vargu sipërfaqesh të llogaritura lehtësisht që konvergjojnë në integralin e një funksioni të caktuar. Ky përkufizim është i suksesshëm në kuptimin që jep përgjigjen e pritur për shumë probleme tashmë të zgjidhura dhe jep rezultate të dobishme për shumë probleme të tjera.

Sidoqoftë, integrimi sipas Rimanit nuk ndërvepron mirë me marrjen e limiteve të vargjeve të funksioneve, duke i bërë procese të tilla kufizuese të vështira për t'u analizuar. Kjo është e rëndësishme, për shembull, në studimin e serive Thurje, transformimit të Thurjesë dhe temave të tjera. Integrali i Lebegut është më i aftë të përshkruajë se si dhe kur është e mundur të merren kufij nën shenjën integrale (nëpërmjet teoremës së konvergjencës monotone dhe teoremës së konvergjencës së dominuar ).

Ndërsa integrali i Rimanit e konsideron zonën nën një kurbë si të bërë nga drejtkëndësha vertikalë, përkufizimi i Lebegut merr në konsideratë pllakat horizontale që nuk janë domosdoshmërisht vetëm drejtkëndësha, dhe kështu është më fleksibël. Për këtë arsye, përkufizimi i Lebegut bën të mundur llogaritjen e integraleve për një klasë më të gjerë funksionesh. Për shembull, funksioni Dirichlet, i cili është 0 ku argumenti i tij është irracional dhe 1 përndryshe, ka një integral Lebegu, por nuk ka një integral Riman. Për më tepër, integrali i Lebegut i këtij funksioni është zero, gjë që pajtohet me intuitën se kur zgjedhim një numër real nga një shpërndarje uniforme nga intervali i njësisë, probabiliteti i zgjedhjes së një numri racional duhet të jetë zero.

Unë duhet të paguaj një shumë të caktuar, të cilën e kam në xhep. Unë i nxjerr monedhat dhe kartmonedhat nga xhepi dhe ia jap ato kreditorit në rendin e gjetur derisa t'i kem dhënë shumën totale. Ky është integrali i Rimanit. Por unë mund të veproj ndryshe. Pasi i kam nxjerrë të gjitha nga xhepi, unë i grupoj monedhat dhe kartmonedhat sipas vlerës së tyre dhe pastaj paguaj grumbuj-grumbuj. Ky është integrali im.

— Source: (Siegmund-Schultze 2008)

Shfaqet një funksion i matshëm, së bashku me grupin $\{x:f(x)>t\}$ (në boshtin x ). Integrali i Lebegut fitohet duke prerë në feta përgjatë boshtit $y$, duke përdorur masën 1-dimensionale Lebesgue për të matur "gjerësinë" e fetave.