Këndi i paralelizmit

Këndi i paralelizmit në gjeometrinë hiperbolike

Në gjeometrinë hiperbolike, këndi i paralelizmit $\Pi (a)$ është këndi në kulmin e këndit jo të drejtë të një trekëndëshi hiperbolik të drejtë që ka dy brinjë paralele asimptotike . Këndi varet nga gjatësia e segmentit a ndërmjet këndit të drejtë dhe kulmit të këndit të paralelizmit.

Duke pasur parasysh një pikë jashtë një drejtëze, hiqet një pingule me drejtëzën nga pika. Le të jetë a gjatësia e këtij segmenti pingul, dhe $\Pi (a)$ të jetë këndi më i vogël i tillë që drejtëza e hequr nëpër pikë të mos e presë drejtëzën e dhënë. Meqenëse dy anët janë asimptotikisht paralele,

$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.$

Ka pesë shprehje të njëvlerëshme që lidhinn $\Pi (a)$ dhe a :

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

$\cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

$\tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,$

$\tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),$

ku sinh, cosh, tanh, sech dhe csch janë funksione hiperbolike dhe gd është funksioni Gudermannian .

Historia

Këndi i paralelizmit u zhvillua në 1840 në botimin gjerman "Geometrische Untersuchungen zur Theory der Parallellinien" nga Nikollaj Llobaçevski .

Ky botim u bë i njohur gjerësisht në anglisht pasi profesori teksan G. B. Halsted bëri një përkthim në 1891. ( Kërkime gjeometrike mbi teorinë e paraleleve )