Kurtoza e tepërt

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, kurtoza (nga greqishtja κυρτός , kyrtos ose kurtos, që do të thotë "i lakuar, i harkuar") është një masë e "bishtësisë" së shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit me vlera reale . Ashtu si anshmëria, kurtoza përshkruan një tipar të veçantë të një shpërndarje probabiliteti. Ka mënyra të ndryshme për të përcaktuar sasinë e kurtozës për një shpërndarje teorike, dhe ka mënyra përkatëse për ta vlerësuar atë duke përdorur një kampion nga një popullatë. Masat e ndryshme të kurtozës mund të kenë interpretime të ndryshme.

Masa standarde e kurtozës së shpërndarjes, me origjinë nga Karl Pearson, është një version i shkallëzuar i momentit të katërt të shpërndarjes. Ky numër lidhet me bishtat e shpërndarjes, jo me kulmin e saj; prandaj, karakterizimi i parë ndonjëherë i kurtozës si " masë " është i pasaktë. Për këtë masë, kurtoza më e lartë korrespondon me ekstremitetin më të madh të devijimeve (ose të jashtme ), dhe jo me konfigurimin e të dhënave afër mesatares .

Momentet e Pearsonit

Kurtoza është momenti i katërt i standardizuar, i përcaktuar si

$\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},$

ku μ ₄ është momenti i katërt qendror dhe σ është devijimi standard . Në literaturë përdoren disa shkronja për të shënuar kurtozën. Një zgjedhje shumë e zakonshme është κ, e cila është e mirë për sa kohë që është e qartë se nuk i referohet një mbledhësi . Zgjedhje të tjera përfshijnë γ₂, që të jetë e ngjashme me shënimin e anshmërisë, megjithëse ndonjëherë kjo rezervohet për kurtozën e tepërt.

Kurtoza kufizohet më poshtë nga anshmëria në katror plus 1:

${\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}\geq \left({\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}+1,$

ku μ₃ është momenti i tretë qendror . Kufiri i poshtëm realizohet nga shpërndarja e Bernulit . Nuk ka kufi të sipërm për kurtozën e një shpërndarjeje të përgjithshme probabiliteti dhe mund të jetë e pafundme.

Një arsye pse disa autorë favorizojnë kurtozën e tepërt është se mbledhësit janë ekstensivë . Formulat që lidhen me vetinë ekstensive shprehen më natyrshëm në termat e kurtozës së tepërt. Për shembull, le të jenë $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ ndryshore të rastit të pavarura për të cilat ekziston momenti i katërt dhe le të jetë $Y$ ndryshorja e rastit e përcaktuar nga shuma e $X_{i}$. Kurtoza e tepërt e $Y$ është

$\operatorname {Kurt} [Y]-3={\frac {1}{\left(\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{\,2}\right)^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{\,4}\cdot \left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right),$

ku $\sigma _{i}$ është devijimi standard i $X_{i}$ . Në veçanti nëse të gjitha $X_{i}$ kanë të njëjtën variancë, atëherë kjo thjeshtohet në

$\operatorname {Kurt} [Y]-3={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right).$

Arsyeja për të mos zbritur 3 është se momenti i katërt i zhveshur përgjithësohet më mirë në shpërndarjet shumëndryshore, veçanërisht kur pavarësia nuk supozohet. Bashkëkurtoza midis çifteve të ndryshoreve është tensori i rendit katër. Për një shpërndarje normale dyndryshore, tensori i kokurtozës ka terma jashtë diagonales që nuk janë as 0 as 3 në përgjithësi, kështu që përpjekja për të "korrigjuar" për një tepricë bëhet konfuze. Është e vërtetë, megjithatë, se mbledhësit e përbashkët të shkallës më të madhe se dy për çdo shpërndarje normale shumëndryshore janë zero.

Për dy ndryshore të rastit, $X$ dhe $Y$, jo domosdoshmërisht të pavarura, kurtoza e shumës, $X+Y$, është

${\begin{aligned}\operatorname {Kurt} [X+Y]={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big (}&\sigma _{X}^{4}\operatorname {Kurt} [X]+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}\operatorname {Cokurt} [X,X,X,Y]\\&{}+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}\operatorname {Cokurt} [X,X,Y,Y]\\[6pt]&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}\operatorname {Cokurt} [X,Y,Y,Y]+\sigma _{Y}^{4}\operatorname {Kurt} [Y]{\big )}.\end{aligned}}$

Interpretimi i Mursit

Në 1986 Mursi dha një interpretim të kurtozës. Le të jetë

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},$

ku $X$ është një ndryshore e rastit, $\mu$ është mesatarja dhe $\sigma$ është shmangia standarde.

Tani sipas përkufizimit të kurtozës $\kappa$, dhe nga identiteti i njohur $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$

$\kappa =E\left[Z^{4}\right]=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\left[E\left[Z^{2}\right]\right]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+[\operatorname {var} [Z]]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1$ .

Kurtoza tani mund të shihet si një masë e shpërndarjes së $Z^{2}$ rreth pritjes së saj. Përndryshe, mund të shihet se është një masë e shpërndarjes së $Z$ rreth +1 dhe −1. κ e arrin vlerën e saj minimale në një shpërndarje simetrike me dy pika. Për sa i përket ndryshores origjinale $X$, kurtoza është një masë e shpërndarjes së $X$ rreth dy vlerave $\mu \pm \sigma$ .

Kurtoza e tepërt

Kurtoza e tepërt përcaktohet si kurtoza minus 3. Ekzistojnë 3 regjime të dallueshme siç përshkruhen më poshtë.

Mesokurtizmi

Shpërndarjet me kurtozë të tepërt zero quhen mezokurtike, ose mezokurtotike. Shembulli më i spikatur i një shpërndarjeje mezokurtike është familja e shpërndarjes normale, pavarësisht nga vlerat e parametrave të saj. Disa shpërndarje të tjera të njohura mund të jenë mezokurtike, në varësi të vlerave të parametrave: për shembull, shpërndarja binomiale është mezokurtike për $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ .

Leptokurtizmi

Një shpërndarje me kurtozë të tepërt pozitive quhet leptokurtike, ose leptokurtotike. "Lepto-" do të thotë "i hollë". Për sa i përket formës, një shpërndarje leptokurtike ka bishta më të trashë . Shembuj të shpërndarjeve leptokurtike përfshijnë shpërndarjen e Studentit t, shpërndarjen Rayleigh, shpërndarjen Laplace, shpërndarjen eksponenciale, shpërndarjen Poisson dhe shpërndarjen logjistike . Shpërndarje të tilla nganjëherë quhen super-Gausiane . [12]

Platikurtizmi

Hedhja e monedhës është shpërndarja më platikurtike

Një shpërndarje me kurtozë të tepërt negative quhet platikurtike, ose platikurtotike. "Platy-" do të thotë "i gjerë". Për sa i përket formës, një shpërndarje platikurtike ka bishta më të hollë . Shembuj të shpërndarjeve platikurtike përfshijnë shpërndarjet uniforme të vazhdueshme dhe diskrete dhe shpërndarjen e kosinusit të ngritur . Shpërndarja më platikurtike nga të gjitha është shpërndarja e Bernult me p = 1/2 (për shembull, sa herë që merret varianti "kokë" kur hidhet një monedhë një herë, një hedhje monedhe ), për të cilën kurtoza e tepërt është -2.