Largësia totale e variacionit të masave të probabilitetit

Në teorinë e probabilitetit, distanca totale e variacionit është një masë e largësisë për shpërndarjet e probabilitetit. Është një shembull i një metrike të largësisë statistikore dhe nganjëherë quhet largësia statistikore, ndryshesa statistikore ose largësia variacionale .

Përkufizimi

Konsideroni një hapësirë të matshme $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ dhe masat e probabilitetit $P$ dhe $Q$ përcaktuar më $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ . Largësia totale e variacionit ndërmjet $P$ dhe $Q$ përkufizohet si ^[1]

\delta (P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|P(A)-Q(A)\right|.

Kjo është ndryshesa absolute më e madhe midis probabiliteteve që dy shpërndarjet e probabilitetit i caktojnë të njëjtës ngjarje.

Vetitë

Largësia totale e variacionit është një divergjencë <i id="mwJg">f</i> dhe një metrikë integrale e probabilitetit .

Lidhja me largësitë e tjera

Largësia totale e variacionit lidhet me divergjencën Kullback-Leibler nga mosbarazimi i Pinsker -it:

\delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.

Gjithashtu merret mosbarazimi i mëposhtëm, për shkak të Bretagnolle dhe Huber ^[2] (shih gjithashtu ), e cila ka avantazhin e sigurimit të një kufiri jo vakuoz edhe kur $\textstyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2\colon$

\delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}}.

Largësia totale e variacionit është gjysma e largësia L <sup id="mwOw">1</sup> midis funksioneve të probabilitetit: në domene diskrete, kjo është largësia midis funksioneve të masës së probabilitetit ^[3]

\delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\sum _{x}|P(x)-Q(x)|,

dhe kur shpërndarjet kanë funksione standarde të densitetit të probabilitetit p dhe q, ^[4]

\delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\int |p(x)-q(x)|\,\mathrm {d} x

^ Chatterjee, Sourav. "Distances between probability measures" (PDF). UC Berkeley. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 8 korrik 2008. Marrë më 21 qershor 2013. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Bretagnolle, J.; Huber, C, Estimation des densités: risque minimax, Séminaire de Probabilités, XII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1976/1977), pp. 342–363, Lecture Notes in Math., 649, Springer, Berlin, 1978, Lemma 2.1 (French).
^ David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.
^ Tsybakov, Aleksandr B. (2009). Introduction to nonparametric estimation (bot. rev. and extended version of the French Book). New York, NY: Springer. Lemma 2.1. ISBN 978-0-387-79051-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Chatterjee2007-1] Chatterjee, Sourav. "Distances between probability measures" (PDF). UC Berkeley. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 8 korrik 2008. Marrë më 21 qershor 2013. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Bretagnolle, J.; Huber, C, Estimation des densités: risque minimax, Séminaire de Probabilités, XII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1976/1977), pp. 342–363, Lecture Notes in Math., 649, Springer, Berlin, 1978, Lemma 2.1 (French).

[3] David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.

[4] Tsybakov, Aleksandr B. (2009). Introduction to nonparametric estimation (bot. rev. and extended version of the French Book). New York, NY: Springer. Lemma 2.1. ISBN 978-0-387-79051-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]

[4]