Logjika simbolike

Logjika simbolike (e njohur ndryshe si logjika matematike ose algoritmike) është një degë e logjikës formale, e cila filloi të zhvillohet me të madhe në gjysmën e dytë të shekullit XIX dhe në fillim të shekullit XX. Karakteristikë e logjikës simbolike është përdorimi universal i ideogrameve (simboleve për nocione dhe për gjykime që përdoren në gjuhën artificiale) në vend të fonogrameve (simboleve për tinguj, që përdorën në gjuhën natyrore). Fillimin e përdorimit të ideogrameve e hasim që në logjikën klasike të Aristotelit, por logjika simbolike bashkëkohore krijoi simbole ideografe pakrahasimisht të pasur nga ajo që e përdorte logjika tradicionale.

Historia

Idetë e para për një logjikë simbolike-matematike i hasim në veprat e filozofit dhe matematikanit gjerman G. W. Leibniz (1646-1716), i cili ishte i bindur se ekzistojnë parime universale logjiko-matematikore të cilat duhet zbuluar dhe duhet themeluar një shkencë universale e tipit matematik, e aftë të japë arsyet për gjithçka që ekziston. Leibniz-i ndërmori një hap shumë të rëndësishëm në krijimin e logjikës simbolike duke zëvendësuar termat e gjuhës natyrore me simbole. Kështu Leinbiz-i e nisi tentativën që rezonimi apo argumentimi logjik të bëhet llogaritje mbi simbole. Pra dalë ngadalë lindi logjika moderne simbolike.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Pas Leibniz-it, në shekullin XIX kemi një zhvillim të paparë të logjiës simbolike, ku matematikani George Boole (1815-1864) duke ndjekur dhe zhvilluar ëndrrën e Leibniz-it, tenton ta reduktojë logjikën në matematikë, duke pretenduar në llogaritjen matematike të propozicioneve logjike. Në veprën e vet Analiza matematike e logjikës, G. Boole futë sistemin algjebrik brenda logjikës, duke e bërë algjebren binare metodë për testimin e propozicioneve dhe argumenteve logjike.

Rol të madh në zhvillimin e logjiës simbolike bashkëkohore ka lujatur edhe A. DeMorgan-i, i cili në veprën e tij Logjika formale dhe llogaritja e konkludimit të domosdoshëm ose probabil, jep kontribut të madh në zhvillimin e kësaj shkence. DeMorgan është i njohur për dy ligjet e tij të ekujvalencës.

Pas DeMorgan-it një kontribut të jashtëzakonshëm në zhvillimin e logjiës simbolike kanë dhënë Gottlob Frege (1848-1925) me vepren kryesore Bazat e aritmetikës, Bertrand Russell (1872 – 1970) me vepren Principa mathematica që e shkruan së bashku me Alfred North Whitehead (1861-1947),  Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951) me vepren kryesore Tractatus logico-philosophicus etj.

Për ta konkretizuar zhvillimin e logjikës simbolike, mund të themi se për këtë degë të logjikës në stadet e saj të zhvillimit mund t'i dallojmë katër faza:

1.     Fazën e algjebrës logjike

Augustus DeMorgan

2.     Fazën e logjikës (logjicizmin)

3.     Fazën e metalogjikës

4.     Fazën e logjikave heterodokse.

Bazat e fazës së parë, siç u tha më lartë, ia vendosi Boole, duke e reduktuar logjikën në matematikë. Këtë ide e përkrahen edhe disa logjicient të tjerë. Teza kryesore e algjebrës logjike është se logjika është pjesë e matematikës dhe se të gjitha parimet logjike mund të shprehen me anën e algjebrës klasike matematike, siç është për shembull kjo ekujvalencë logjike A ∩ B = B ∩ A.

Faza e dytë e zhvillimit të logjikës konsiston në tezën kryesore se logjika nuk është pjesë e matematikës, por se matematika është pjesë e logjikës. Me fjalë të tjera parimet logjike janë më të përgjithshme se ato të matematikës dhe se matematika mund të reduktohet në logjikë aplikative. Kjo pikëpamje ndryshe njihet si logjicizëm.

Faza e tretë e metalogjikës konsiton në idenë se duhet dalluar logjikën si sistem deduktiv, nga metalogjika si shqyrtim mbi karakteristikat e këtij sistemi. Metalogjika mund të ndahet në sintaksën logjike, semantikën dhe pragmatikën.

George Boole

Faza e katërt e logjikave heterodokse (apo joklasike) përbëhet nga disa degë shumë të rëndësishme të logjikës simbolike bashkëkohore si: 1. logjika modale, 2. logjika deontike, 3. logjika temporale, 4. logjika polivalente etj.

Logjia simbolike e junktorëve

    Logjika simbolike bashkëkohore ndahet në dy degë të mëdha:

1.     Logjikën e junktorëve (apo logjika propozicionale)

2.     Logjikën e kuantorëve (apo logjika predikative)

 

Logjika e junktorëve apo logjika propozicionale ka të bëjë me ato aspekte jo-kuantitative (jo-sasiore) të logjikës dhe përbën një logjikë më të thjeshtë se sa kuantorja. Kështu mund të themi se logjika e junktorëve studion ato forma të mendimit logjik jo-kuantitativ (pa elementin e sasisë, por vetëm të cilësisë). Ndërsa logjika e kuantorëve përbën kuantifikimet (“të gjithë”, “disa”), që don të thotë se në studimin e saj përfshihen format e mendimit logjik që kanë elemente edhe kuantitative (sasiore) edhe kualitative (cilësore). Në këtë kontekst, logjika e kuantorëve operon me disa simbole dhe formula logjike më të komplikuara se sa logjika e junktorëve.

Logjika e junktorëve siç u tha më lartë, merret me studimin e atyre formave të mendimit logjik jo-kuantitativ (jo-sasior). Kjo logjikë përbëhet nga tri komponente themelore:

I. Gjuha formale

II. Semantika

III. Llogaritja

Gjuha formale

Gjuha formale përbëhet nga shenjat dhe gramatika. Kemi tri lloje të shenjave (apo simboleve) në logjikën e junktorëve:

a.  Shkronjat për pohime (A, B, P, Q, F, G, etj.)

b. Operatorët logjik apo junktorët  (¬, ∧, ∨, →, ↔)

c.  Shenjat e ndarjes apo kllapat { [ (  ) ] }    

Operatorët logjik        

      ¬p    Negacioni      ( jo-p)                

 p ∧ q     Konjunksioni  (p dhe q)          

 p ∨ q     Disnjunksioni (p ose q)           

p → q    Implikacioni    (nëse p atëherë q)             

p ↔ q    Ekujvalenca    (p atëherë dhe vetëm atëherë nëse q)           

    

Gramatika e gjuhës formale

Gramatika e gjuhës formale ka të bëjë me simbolizimin e logjikës, pra me të shprehurit e gjykimeve me formula. Në logjikën simbolike bashkëkohore gjykimi quhet propozicion, ku përbën një pohim i cili duhet të marrë patjetër njërën nga dy vlerat e vërtetësisë. Gjuha formale ndahet në formula atomike (ose të thjeshta) të cilat shprehin një propozicion të thjeshtë dhe përbëhen prej shkronjave për pohime (A, B, C etj.) dhe formulave molekulare (të përbëra) të cilat shprehin propozicione të përbëra, dhe përbëhet nga shkronjat për pohime dhe operatorët logjik të cilët e luajnë rolin e lidhëzave. T’i shohim këto propozicione atomike:

“Aristoteli është themelues i logjikës”,  shprehet me një shkronjë  A

“2 + 2 = 4” shprehet me një shkronjë B

“9 > 5”   shprehet me një shkronjë C,    etj. etj.

Ndërsa formulat molekulare që shprehin propozicione të përbëra duken kështu:

               

“Aristoteli është filozof dhe Platoni është filozof”

(ose, “Aristoteli dhe Platoni janë filozof”)

(A ∧ P)

“Nuk është e vërtetë se Aristoteli është filozof dhe Platoni është filozof”

(ose, “Aristoteli dhe Platoni nuk janë filozofë”)

(¬A ∧ ¬P)

“Nëse është ftohtë dhe bie shi, atëherë moti është me vranësira dhe nuk rrezon dielli”

[(F ∧ B) → (V ∧ ¬D)]

“Nëse temperatura është nën -1 °C, atëherë uji është ngrirë, dhe nëse uji ësthë ngrirë, atëherë temperatura është nën -1 °C”

[(T → U) ∧ (U → T)]

Megjithatë në logjikën formale-simbolike nuk është e rëndësishme përmbajtja e formulave propozicionale, e rëndësishme është forma universale, që është e aplikueshme në çdo përmbajtje. Sikurse matematikani që operon me operacionet aritmetike dhe gjeometrike dhe nuk i intereson se çka llogarit, me rendesi është llogaritja e cila mund të aplikohet në çdo fushë të përmbajtjes, ashtu edhe logjicientit nuk i intereson përbajtja, por forma universale e cila mund të aplikohet në çdo fushë të përmbajtjes.

Ligjet themelore të logjikës të shprehura me formula

(P ↔ P)                                            Ligji i identitetit

¬(P ∧ ¬P)                                        Ligji i (jo)kontradiksionit

(P ∨ ¬P)                                           Ligji i së tretës së përjashtuar

(P ↔ ¬¬P)                                        Ligji i negacionit të dyfisht