Matrica e rrotullimit

Në algjebrën lineare, një matricë rrotullimi është një matricë transformimi që përdoret për të kryer një rrotullim në hapësirën Euklidiane . Për shembull, duke përdorur konventën më poshtë, matrica

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

rrotullon pikat në rrafshin xy në drejtim të kundërt të akrepave të orës përmes një këndi θ rreth origjinës së një sistemi koordinativ kartezian dydimensional . Për të kryer rrotullimin në një pikë të rrafshët me koordinata standarde v = ( x, y ), ai duhet të shkruhet si një vektor kolone dhe të shumëzohet me matricën R :

$R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Nëse x dhe y janë koordinatat e pikës fundore të një vektori, ku x është kosinus dhe y është sinus, atëherë ekuacionet e mësipërme bëhen formulat trigonometrike të mbledhjes së këndit . Në të vërtetë, një matricë rrotullimi mund të shihet si formula e këndit të mbledhjes trigonometrike në formë matrice. Një mënyrë për ta kuptuar këtë është të themi se kemi një vektor në një kënd 30° nga boshti x dhe dëshirojmë ta rrotullojmë atë kënd edhe me 45° të tjera. Thjesht duhet të llogarisim koordinatat e pikës fundore të vektorit në 75°.

Meqenëse shumëzimi i matricës nuk ka efekt mbi vektorin zero (koordinatat e origjinës), matricat e rrotullimit përshkruajnë rrotullime rreth origjinës. Matricat e rrotullimit ofrojnë një përshkrim algjebrik të rrotullimeve të tilla dhe përdoren gjerësisht për llogaritjet në gjeometri, fizikë dhe grafikë kompjuterike . Në disa literaturë, termi rrotullim përgjithësohet për të përfshirë rrotullime jo të veta, të karakterizuara nga matrica ortogonale me një përcaktor −1 (në vend të +1). Këto kombinojnë rrotullimet e duhura me reflektimet (të cilat përmbysin orientimin ). Në raste të tjera, kur reflektimet nuk merren parasysh, etiketa jo e vetë mund të hiqet. Konventa e fundit ndiqet në këtë artikull.

Matricat e rrotullimit janë matrica katrore, me elementë realë . Më konkretisht, ato mund të karakterizohen si matrica ortogonale me përcaktor 1; domethënë, një matricë katrore R është një matricë rrotullimi atëherë dhe vetëm atëherë R^T= R^-1 dhe det(R) = 1 . Bashkësia e të gjitha matricave ortogonale të madhësisë n me përcaktor +1 është një paraqitje e një grupi të njohur si grupi special ortogonal SO(n ), një shembull i të cilit është grupi i rrotullimit SO(3) . Bashkësia e të gjitha matricave ortogonale me madhësi n me përcaktor +1 ose −1 është një paraqitje e grupit (të përgjithshëm) ortogonal O(n ) .

Në dy dimensione

Një rrotullim në drejtim kundërorar i një vektori në këndin θ . Vektori fillimisht është i lidhur me boshtin x .

Në dy dimensione, matrica standarde e rrotullimit ka formën e mëposhtme:

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Kjo rrotullon vektorët e kolonave me anë të shumëzimit të matricës vijues,

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$

Kështu, koordinatat e reja (x ′, y ′) të një pike (x, y ) pas rrotullimit janë

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.$

Shembuj

Për shembull, kur vektori

$\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}$

rrotullohet nga një kënd θ, koordinatat e tij të reja janë

${\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},$

dhe kur vektori

$\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}$

rrotullohet me një kënd θ, koordinatat e tij të reja janë

${\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Në tre dimensione

 

Një rrotullim pozitiv 90° rreth boshtit y (majtas) pas njërit rreth boshtit z(në mes) jep një rrotullim 120°rreth diagonales kryesore (djathtas).
Në cepin lart nga e majta janë matricat e rrotulimi, djathtas poshtë janë përkëmbimet e kubit me origjinën në qëndër.

Rrotullimet bazë 3D

Një rrotullim bazë 3D (i quajtur edhe rrotullim elementar) është një rrotullim rreth një prej boshteve të një sistemi koordinativ. Tre matricat bazë të rrotullimit të mëposhtëm rrotullojnë vektorët me një kënd θ rreth boshtit x -, y - ose z -, në tre dimensione, duke përdorur rregullin e dorës së djathtë - që kodifikon shenjat e tyre të alternuara. Vini re se rregulli i dorës së djathtë funksionon vetëm kur shumëzohet $R\cdot {\vec {x}}$ . (Të njëjtat matrica mund të përfaqësojnë gjithashtu një rrotullim të akseve në drejtim të akrepave të orës. )

${\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}$

Për vektorët e kolonës, secili prej këtyre rrotullimeve bazë të vektorit shfaqet në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur boshti rreth të cilit ndodhin drejtohet drejt vëzhguesit, sistemi i koordinatave është i djathtë dhe këndi θ është pozitiv. R z, për shembull, do të rrotullohej drejt boshtit y një vektor i lidhur me boshtin x, siç mund të kontrollohet lehtësisht duke vepruar R_Z mbi vektorin (1,0,0) :

$R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}$