Hapësira Euklidiane

Një pikë në hapësirën Euklidiane tredimensionale mund të identifikohet nga tre koordinata.

Hapësira Euklidiane është hapësira themelore e gjeometrisë, e synuar të përfaqësojë hapësirën fizike . Fillimisht, në Elementet e Euklidit, ishte hapësira tredimensionale e gjeometrisë Euklidiane, por në matematikën moderne ekzistojnë hapësira euklidiane të çdo dimensioni të plotë pozitiv n, të cilat quhen n -hapësira Euklidiane kur dikush dëshiron të specifikojë dimensionin e tyre. Për n të barabarta me një ose dy, ato zakonisht quhen përkatësisht vija Euklidiane dhe rrafshe Euklidiane . Kualifikuesi "Euklidian" përdoret për të dalluar hapësirat Euklidiane nga hapësirat e tjera që më vonë u konsideruan në fizikë dhe matematikë moderne.

Gjeometrit e lashtë grekë paraqitën hapësirën Euklidiane për modelimin e hapësirës fizike. Puna e tyre u mblodh nga matematikani i lashtë grek Euklidi në Elementet e tij, me risinë e madhe të vërtetimit të të gjitha vetive të hapësirës si teorema, duke u nisur nga disa veti themelore, të quajtura postulate, të cilat ose konsideroheshin si të dukshme (për shembull, ekziston saktësisht një drejtëz që kalon nëpër dy pika), ose dukej e pamundur për t'u vërtetuar ( postulat paralel ).

Pas futjes në fund të shekullit të 19-të të gjeometrive jo-Euklidiane, postulatet e vjetra u riformalizuan për të përcaktuar hapësirat Euklidiane përmes teorisë aksiomatike . Një përkufizim tjetër i hapësirave Euklidiane me anë të hapësirave vektoriale dhe algjebrës lineare është treguar të jetë i njëvlershëm me përkufizimin aksiomatik. Është ky përkufizim që përdoret më shpesh në matematikën moderne dhe i detajuar në këtë artikull. Në të gjitha përkufizimet, hapësirat Euklidiane përbëhen nga pika, të cilat përcaktohen vetëm nga vetitë që duhet të kenë për të formuar një hapësirë Euklidiane.

Në thelb ekziston vetëm një hapësirë Euklidiane për çdo dimension; domethënë, të gjitha hapësirat Euklidiane të një dimensioni të caktuar janë izomorfe . Prandaj, zakonisht është e mundur të punohet me një hapësirë specifike Euklidiane, të shënuar $\mathbf {E} ^{n}$ ose $\mathbb {E} ^{n}$, e cila mund të paraqitet duke përdorur koordinatat karteziane si n -hapësirë reale $\mathbb {R} ^{n}$ pajisur me prodhimin skalar .

Përkufizimi

Historia e përkufizimit

Hapësira Euklidiane u paraqit nga grekët e lashtë si një abstraksion i hapësirës sonë fizike. Risia e tyre e madhe, e shfaqur në Elementet e Euklidit ishte të ndërtonin dhe provonin të gjithë gjeometrinë duke u nisur nga disa veti shumë themelore, të cilat janë abstraguar nga bota fizike dhe nuk mund të vërtetohen matematikisht për shkak të mungesës së mjeteve më themelore. Këto veti quhen postulate, ose aksioma në gjuhën moderne. Kjo mënyrë e përcaktimit të hapësirës Euklidiane është ende në përdorim nën emrin e gjeometrisë sintetike .

Në 1637, Rene Dekarti prezantoi koordinatat karteziane dhe tregoi se këto lejojnë reduktimin e problemeve gjeometrike në llogaritjet algjebrike me numra. Ky reduktim i gjeometrisë në algjebër ishte një ndryshim i madh në këndvështrim, pasi, deri atëherë, numrat realë përcaktoheshin në terma të gjatësive dhe distancave.

Gjeometria Euklidiane nuk u zbatua në hapësirat me dimension më shumë se tre deri në shekullin e 19-të. Ludwig Schläfli e përgjithësoi gjeometrinë Euklidiane në hapësirat e dimensionit n, duke përdorur metoda sintetike dhe algjebrike, dhe zbuloi të gjitha politopet e rregullta (analogët me dimensione më të larta të trupave të ngurtë platonike ) që ekzistojnë në hapësirat Euklidiane të çdo dimensioni.

Përkufizimi teknik

A  është një hapësirë e prodhimit të brendshëm me dimensione të fundme mbi numrat realë .

Një hapësirë Euklidiane është një hapësirë afine mbi realët e tillë që hapësira vektoriale e lidhur është një hapësirë vektoriale Euklidiane. Hapësirat euklidiane nganjëherë quhen hapësira afine euklidiane për t'i dalluar ato nga hapësirat vektoriale Euklidiane. Nëse E është një hapësirë euklidiane, hapësira vektoriale e lidhur me të (hapësira vektoriale Euklidiane) shpesh shënohet ${\overrightarrow {E}}.$ Dimensioni i një hapësire Euklidiane është dimensioni i hapësirës vektoriale të lidhur me të.

Elementet e E quhen pika dhe zakonisht shënohen me shkronja të mëdha. Elementet e ${\overrightarrow {E}}$ quhen vektorë euklidianë ose vektorë të lirë . Ata quhen gjithashtu përkthime, megjithëse, duke folur siç duhet, një translatim është transformimi gjeometrik që rezulton nga veprimi i një vektori Euklidian në hapësirën Euklidiane.

Veprimi i një translatimi v në një pikë P siguron një pikë që shënohet P + v . Ky veprim kënaq$$P+(v+w)=(P+v)+w.$$$$\theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)$$$${\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}$$Hapësira vektoriale ${\overrightarrow {E}}$ e lidhur me një hapësirë Euklidiane E është një hapësirë e prodhimit të brendshëm . Kjo nënkupton një formë bilineare simetrike$$\|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.$$$$d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}$$$$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).$$Dy vektorë jozero u dhe v të ${\overrightarrow {E}}$ (hapësira vektoriale e lidhur e një hapësire Euklidiane E ) janë pingule ose ortogonale nëse produkti i tyre i brendshëm është zero:$$u\cdot v=0$$Largësia (më saktë distanca Euklidiane ) ndërmjet dy pikave të një hapësire Euklidiane është norma e vektorit të përkthimit që lidh njërën pikë në tjetrën; kjo eshte

Struktura metrike

që është pozitivisht e përcaktuar (d.m.th $\langle x,x\rangle$ është gjithmonë pozitiv për x ≠ 0 ).

Prodhimi i brendshëm i një hapësire Euklidiane shpesh quhet prodhimi pikë dhe shënohet x ⋅ y. Ky është veçanërisht rasti kur është zgjedhur një sistem koordinativ kartezian, pasi, në këtë rast, prodhimi i brendshëm i dy vektorëve është prodhimi me pika i vektorëve të koordinatave të tyre. Për këtë arsye, dhe për arsye historike, shënimi i pikës përdoret më shpesh sesa shënimi i kllapave për produktin e brendshëm të hapësirave Euklidiane. Ky artikull do të ndjekë këtë përdorim; kjo eshte $\langle x,y\rangle$ do të shënohet x ⋅ y në pjesën e mbetur të këtij neni.

Norma Euklidiane e një vektori x është

Prodhimi i brendshëm dhe norma lejon shprehjen dhe vërtetimin e vetive metrike dhe topologjike të gjeometrisë Euklidiane . Nënseksioni tjetër përshkruan ato më themelore. Në këto nënseksione, E tregon një hapësirë arbitrare Euklidiane, dhe ${\overrightarrow {E}}$ tregon hapësirën e saj vektoriale të përkthimeve.

Largësia dhe gjatësia

Gjatësia e një segmenti PQ është largësia d(P, Q) ndërmjet pikave fundore të tij P dhe Q. Shpesh shënohet $|PQ|$ .

Largësia është një metrikë, pasi është e përcaktuar pozitive, simetrike dhe plotëson mosbarazimin e trekëndëshit

Për më tepër, barazia është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse një pikë R i përket segmentit PQ . Ky mosbarazim do të thotë se gjatësia e çdo skaji të një trekëndëshi është më e vogël se shuma e gjatësive të skajeve të tjera.

Pingultësia

Dy nënhapësira lineare të ${\overrightarrow {E}}$ janë pingule nëse çdo vektor jozero i të parit është pingul me çdo vektor jozero të të dytit. Kjo nënkupton që prerja e nënhapësirave lineare reduktohet në vektorin zero.

Dy drejtëza, dhe në përgjithësi dy nënhapësira Euklidiane (Një vijë mund të konsiderohet si një nënhapësirë Euklidiane.) janë ortogonale nëse drejtimet e tyre (hapësirat vektoriale të lidhura të nënhapësirave Euklidiane) janë ortogonale. Dy drejtëza ortogonale që ndërpriten quhen pingule .

Dy segmente AB dhe AC që ndajnë një pikë fundore të përbashkët A janë pingul ose formojnë një kënd të drejtë nëse vektorët ${\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ dhe ${\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ janë ortogonale.

Nëse AB dhe AC formojnë një kënd të drejtë, dikush ka

$$|BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.$$

Kjo është teorema e Pitagorës . Vërtetimi i tij është i lehtë në këtë kontekst, pasi, duke e shprehur këtë në termat e prodhimit të brendshëm, mund të përdoret, duke përdorur bilinearitetin dhe simetrinë e prodhimit të brendshëm:

$${\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}$$

Këtu, ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}$ përdoret pasi këta dy vektorë janë ortogonalë.

Këndi

Këndet pozitive dhe negative në rrafshin e orientuar

Këndi (jo i orientuar) θ ndërmjet dy vektorëve jozero x dhe y in ${\overrightarrow {E}}$ është

ku arccos është vlera kryesore e funksionit të arkkosinusit . Nga mosbarazimi i Cauchy–Schwarz, argumenti i arkkosinusit është në intervalin [ -1, 1 ] . Prandaj θ është real, dhe 0 ≤ θ ≤ π (ose 0 ≤ θ ≤ 180 nëse këndet maten me gradë).

Këndet nuk janë të dobishme në një drejtëz Euklidiane, pasi ato mund të jenë vetëm 0 ose π .

Në një plan Euklidian të orientuar, mund të përcaktohet këndi i orientuar i dy vektorëve. Këndi i orientuar i dy vektorëve x dhe y është atëherë e kundërta e këndit të orientuar të y dhe x . Në këtë rast, këndi i dy vektorëve mund të ketë çdo vlerë të modulit të një shumëfishi të plotë të 2π . Në veçanti, një kënd refleks π < θ < 2 π është i barabartë me këndin negativ −π < θ − 2 π < 0 .

$$\operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{nëse }}\lambda {\text{ dhe }}\mu {\text{ kanë të njëjtën shenjë}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{përndryshe}}.\end{cases}}$$Këndi i dy vijave përcaktohet si më poshtë. Nëse θ është këndi i dy segmenteve, një në secilën vijë, këndi i çdo dy segmentesh të tjerë, një në secilën linjë, është ose θ ose π - θ . Njëri prej këtyre këndeve është në intervalin [ 0, π /2 ], dhe tjetri është në [ π /2, π ] . Këndi i paorientuar i dy drejtëzave është ai në intervalin [ 0, π /2 ] . Në një plan Euklidian të orientuar, këndi i orientuar i dy vijave i përket intervalit [ - π /2, π /2 ] .

Izometritë

Një izometri midis dy hapësirave metrike është një bijeksion që ruan largësinë, që do të thotë$$d(f(x),f(y))=d(x,y).$$Në rastin e një hapësire vektoriale Euklidiane, një izometri që hartëzon origjinën tek origjina ruan normën$$\|f(x)\|=\|x\|,$$meqenëse norma e një vektori është largësia e tij nga vektori zero. Ruan gjithashtu prodhimin e brendshëm$$f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,$$që nga viti$$x\cdot y={\tfrac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$$

Një izometri e hapësirave vektoriale Euklidiane është një izomorfizëm linear .

Një izometri $f\colon E\to F$ i hapësirave Euklidiane përcakton një izometri ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ të hapësirave vektoriale të lidhura Euklidiane. Kjo nënkupton që dy hapësira izometrike Euklidiane kanë të njëjtin dimension. Anasjelltas, nëse E dhe F janë hapësira euklidiane, O ∈ E, O ' ∈ F, dhe ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ është një izometri, pastaj harta $f\colon E\to F$ përcaktuar nga$$f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}{\vphantom {\frac {(}{}}}$$është një izometri e hapësirave Euklidiane.

Përdorimi

Që nga grekët e lashtë, hapësira Euklidiane është përdorur për modelimin e formave në botën fizike. Kështu përdoret në shumë shkenca, si fizika, mekanika dhe astronomia . Përdoret gjithashtu gjerësisht në të gjitha fushat teknike që kanë të bëjnë me format, figurën, vendndodhjen dhe pozicionin, si arkitektura, gjeodezia, topografia, navigimi, dizajni industrial ose vizatimi teknik .

Hapësira e dimensioneve më të larta se tre ndodh në disa teori moderne të fizikës; shih Dimensioni më i lartë . Ato ndodhin edhe në hapësirat e konfigurimit të sistemeve fizike .