Mosbarazimi i Çebishevit

Në teorinë e probabilitetit, mosbarazimi i Çebishevit (i quajtur edhe mosbarazimi Bienaymé–Çebishevit ) garanton që, për një klasë të gjerë shpërndarjesh probabiliteti, jo më shumë se një sasi e caktuar e vlerave mund të jetë më shumë se një largësi të caktuar nga mesatarja . Në mënyrë të veçantë, jo më shumë se $1/k^{2}$ e vlerave të shpërndarjes mund të jetë $k$ ose më shumë shmangie standarde larg mesatares (ose në mënyrë të njëvlershme, të ^paktën $1-{\frac {1}{k^{2}}}$ e vlerave të shpërndarjes janë më pak se $k$ devijime standarde larg mesatares). Rregulli shpesh quhet teorema e Çebishevit, në lidhje me gamën e shmangieve standarde rreth mesatares, në statistika. Mosbarazimi ka dobi të madhe sepse mund të zbatohet për çdo shpërndarje probabiliteti në të cilën përcaktohen mesatarja dhe varianca. Për shembull, mund të përdoret për të vërtetuar ligjin e dobët të numrave të mëdhenj .

Përdorimi praktik i tij është i ngjashëm me rregullin 68–95–99.7, i cili zbatohet vetëm për shpërndarjet normale . Mosbarazimi i Çebishevit është më i përgjithshëm, duke deklaruar se një më e pakta 75% e vlerave duhet të gjëndet brenda dy shmangieve standarde të mesatares dhe 88.89% brenda tre devijimeve standarde për një gamë të gjerë shpërndarjesh të ndryshme probabiliteti .

Pohimi probabilist

Le të jetë $X$ (e integrueshme) një ndryshore e rastit me variancë të fundme jo zero $\sigma ^{2}$(dhe si rrjedhojë vlerën e pritur $\mu$). Atëherë për çdo numër real $k>0$ ,

$\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.$

Vetëm rasti $k>1$ është i dobishëm. Kur $k\leq 1$ anën e djathtë ${\frac {1}{k^{2}}}\geq 1$ dhe mosbarazimi është i parëndësishëm siç janë të gjitha probabilitetet ≤ 1.

Si shembull, duke përdorur $k={\sqrt {2}}$ tregon se probabiliteti që vlerat qëndrojnë jashtë intervalit $(\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )$ nuk e kalon ${\frac {1}{2}}$ . Në mënyrë të njëvlershme, kjo nënkupton që probabiliteti i vlerave që qëndrojnë brenda intervalit (dmth "mbulimi" i tij) është të paktën ${\frac {1}{2}}$ .

Për shkak se mund të zbatohet për shpërndarje krejtësisht arbitrare me kusht që ato të kenë një mesatare dhe variancë të kufizuar të njohur, mosbarazimi në përgjithësi jep një kufi të dobët në krahasim me atë që mund të nxirret nëse dihen më shumë aspekte rreth shpërndarjes së përfshirë.

k	Min. % brenda k devijimeve standarde nga mesatarja	Maks. % përtej k devijimeve standarde nga mesatarja
1	0%	100%
√ 2	50%	50%
1.5	55,56%	44.44%
2	75%	25%
2 √ 2	87.5%	12.5%
3	88,8889%	11,1111%
4	93,75%	6,25%
5	96%	4%
6	97,2222%	2,7778%
7	97,9592%	2.0408%
8	98,4375%	1,5625%
9	98,7654%	1.2346%
10	99%	1%

Shembull

Supozoni se zgjedhim rastësisht një artikull gazete nga një burim me një mesatare prej 1000 fjalësh për artikull, me një shmangie standarde prej 200 fjalësh. Më pas mund të dalim në përfundimin se probabiliteti që ai ka ndërmjet 600 dhe 1400 fjalë (dmth. brenda k = 2 shmanige standarde nga mesatarja) duhet të jenë të paktën 75%, sepse nuk ka më shumë se $1/k^{2}$ shans që të jesh jashtë saj, nga mosbarazimi i Çebishevit. Por nëse dimë që shpërndarja është normale, mund të themi se ka 75% mundësi që numri i fjalëve është mes 770 dhe 1230 (pra një kufi më i ngushtë).

Shtesat

Janë zhvilluar disa zgjerime të mosbarazimit të Çebishevit.

Mosbarazimi i Selbergut

Selbergu derivoi një përgjithësim për intervale arbitrare. Supozoni se $X$ është një rv me pritje matematike $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}$. Mosbarazimi i Selbergut pohon se

$\Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{nëse }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{nëse }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}$

Kur $\alpha =\beta$, mosbarazimi reduktohet në atë të Çebishevit. Këto janë kufijtë më të mirë që dimë.

Kufij të mprehtë (të ngushtë)

Mosbarazimi i Çebishevit është i rëndësishëm për shkak të zbatueshmërisë së tij në çdo shpërndarje (me variancë dhe mesatare). Si rezultat i përgjithësimit të tij, mund të mos japë (dhe zakonisht nuk jep) një kufi aq të mprehtë sa metodat alternative që mund të përdoren nëse dihet shpërndarja e ndryshores së rastit. Për të përmirësuar mprehtësinë e kufijve të siguruar nga mosbarazimi, janë një sërë metodash; për një rishikim shih p.sh.

Mosbarazimi i Cantellit

Mosbarazimi i Cantellit për shkak të Francesco Paolo Cantelli thotë se për një ndryshore reale të rastit ( $X$ ) me mesatare ( $\mu$ ) dhe variancë ( $\sigma ^{2}$ )

$P(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}$

ku a≥ 0.

Ky mosbarazim mund të përdoret për të vërtetuar një variant të vetëm të pabarazisë së Çebishevit me k > 0

$\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.$

Një zbatim: largësia midis mesatares dhe medianës

Varianti i njëanshëm mund të përdoret për të vërtetuar deklaratën se për shpërndarjet e probabilitetit që kanë një pritje matematike dhe një medianë, mesatarja dhe mediana (mesorja) nuk mund të ndryshojnë kurrë nga njëra-tjetra me më shumë se një devijim standard . Për ta shprehur këtë në simbole, le të jenë μ, ν dhe σ përkatësisht mesatarja, mediana (mesorja) dhe devijimi standard. Atëherë,

$\left|\mu -\nu \right|\leq \sigma .$

Nuk ka nevojë të supozohet se varianca është e fundme sepse ky mosbarazim është i vërtetë në mënyrë të triviale nëse varianca është e pafundme.

Prova është si më poshtë. Për k = 1 në deklaratën për pabarazinë e njëanshme marrim:

$\Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {\frac {1}{2}}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.$

Duke ndryshuar shenjën e $X$ dhe të $\mu$, marrim

$\Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.$

Meqë mediana është sipas përkufizimit çdo numër real m që plotëson pabarazitë

$\operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{dhe }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}$

Pabarazia e Gausit

Në 1823 Gausi tregoi se për një shpërndarje me një modë unike në zero,

$P(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{nëse}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),$

$P(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{nëse}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).$