Paralelogrami

Paralelogrami

Në gjeometrinë euklidiane, paralelogrami është një katërkëndësh që i ka brinjët dy e nga dy paralele. Etimologjia (nga greqishja παραλληλ-όγραμμον) pasqyron përkufizimin.

Vetitë

• Brinjë përballë janë paralele (nga përkufizimi).
• Brinjët përballë janë kongruente.
• Diagonalja e paralelogramit e ndan atë në dy trekëndësha kongruentë.
• Të dyja diagonalet e ndajnë paralelogramin në dy trekëndësha të njëvlershëm (me sqipërfaqe të barabarta).
• Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën (vërtetimi është më poshtë).
• Pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për secilën diagonale.
• Këndet e kundërt janë kongruentë.
• Këndet e njëpasnjëshme janë shtues (e kanë masën 180°)

Llojet e paralelogramit

• rombi
• drejtkëndëshi
• katrori
• romboidi

Formulat e sipërfaqes

Sipërfaqja e paralelogramit është pjesa blu.

• Sipërfaqja e paralelogramit në të djathtë (sipërfaqja blu) është sa sipërfaqja e drejtkëndëshit duke i hequr sipërfaqet e dy trekëndëshave.

Sipërfaqja e drejtkëndëshit është

$S_{\text{drejt}}=(B+A)\times H\,$

ndërsa sipërfaqja e njërit trekëndësh është

$S_{\text{tre}}={\frac {1}{2}}A\times H.\,$

Pra, sipërfaqja e paralelogramit është

${\begin{aligned}S&=S_{\text{drejt}}-2\times S_{\text{tre}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}$

• Një formulë tjetër sipërfaqeje, me brinjë B dhe C dhe kënd $\theta$, është

$S=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,$

Vërteto që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën

Paralelogrami ABCD

Për të vërtetuar që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën, do të përdorim kongruencën e trekëndëshave

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (si kënde ndërrues të brendshëm)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (si kënde ndërrues të brendshëm).

Gjithashtu brinja AB është e barabartë me brinjën DC.

Pra, trekëndëshat ABE dhe CDE janë uencës; trekëndëshat kanë përkatësisht dy kënde dhe brinjën ndërmjet tyre kongruentë).

Pra,

$AE=CE$

$BE=DE.$