Rregulli i trapezit

Funksioni $f(x)$ (me blu) përafrohet nga një funksion linear (me të kuqe).

Në analizën matematike, rregulla e trapezit (e njohur gjithashtu si rregulli i trapezit) është një teknikë për integrimin numerik, i.e., përafron integralin e caktuar:$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$Rregulli i trapezit funksionon duke përafruar zonën nën grafikun e funksionit $f(x)$ si një trapez dhe duke llogaritur sipërfaqen e tij. Nga kjo rrjedh se$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).$$

Një animacion që tregon se çfarë është rregulli i trapezit dhe si zvogëlohet gabimi në përafrim ndërsa zvogëlohet madhësia e hapit

Rregulli i trapezit mund të shihet si rezultat i përftuar nga mesatarizimi i shumave të Rimanitmajtas dhe djathtas, dhe ndonjëherë përcaktohet në këtë mënyrë. Integrali mund të përafrohet edhe më mirë duke ndarë intervalin e integrimit, duke zbatuar rregullin e trapezit në çdo nëninterval dhe duke përmbledhur rezultatet. Në praktikë, ky rregull "i zinxhiruar" (ose "i përbërë") zakonisht nënkuptohet si "integrimi me rregullin e trapezit". Le të jetë$\{x_{k}\}$ një ndarje e $[a,b]$ sikurse $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b$ dhe $\Delta x_{k}$ të jetë gjatësia e $k$ - nënintervali i-të (d.m.th. $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ ), atëherë$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.$$Kur ndarja ka një hap të rregullt, siç ndodh shpesh, domethënë kur të gjitha $\Delta x_{k}$ kanë të njëjtën vlerë $\Delta x,$ formula mund të thjeshtohet për efikasitet llogaritje duke faktorizuar $\Delta x$ jashtë:.$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).$$

Historia

Një dokument shkencor i vitit 2016 raporton se rregulli i trapezit ishte në përdorim në Babiloni para vitit 50 pes për integrimin e shpejtësisë së Jupiterit përgjatë ekliptikës .

Zbatimi numerik

Rrjetë jo uniforme

Kur hapësira në rrjetë është jo e njëtrajtshme, mund të përdoret formula$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},$$ku $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.$

Rrjetë uniforme

Për një bashkësi të diskretizuar në $N$ panele të barabarta, mund të ndodhë një thjeshtim i konsiderueshëm. Le të jetë$$\Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}$$përafrimi me integralin bëhet$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}\right).\end{aligned}}$$

Analiza e gabimit

Një animacion që tregon se si përafrimi i rregullave trapezoidale përmirësohet me më shumë shirita për një interval me $a=2$ dhe $b=8$ . Kur numri i intervaleve $N$ rritet, po ashtu rritet edhe saktësia e rezultatit.

Gabimi i rregullit të përbërë trapezoidal është ndryshimi midis vlerës së integralit dhe rezultatit numerik:$${\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]$$Ekziston një numër ξ midis a dhe b, i tillë që $${\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )$$Nga kjo rrjedh se nëse i integrueshmi është konkav (dhe kështu ka një derivat të dytë pozitiv), atëherë gabimi është negativ dhe rregulli trapezoidal mbivlerëson vlerën e vërtetë. Kjo mund të shihet edhe nga fotografia gjeometrike: trapezoidët përfshijnë të gjithë zonën nën kurbë dhe shtrihen mbi të. Në mënyrë të ngjashme, një funksion konkav-poshtë jep një nënvlerësim. Nëse intervali i integralit që përafrohet përfshin një pikë infleksioni, gabimi është më i vështirë për t'u identifikuar.

Një vlerësim asimptotik i gabimit për N → ∞ jepet nga$${\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).$$

Shembull

Është dhënë integrali i mëposhtëm:$$\int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}$$

1. Përdorni rregullin e përbërë trapezoidal për të vlerësuar integralin. Përdorni 3 segmente
2. Gjeni gabimin e vërtetë $E_{t}$ për pikën (1)
3. Gjeni gabimin e vërtetë relativ absolut $|\epsilon _{t}|$ për pikën (1)

1.  Use the composite trapezoidal rule to estimate the value of this integral. Use three segments.
2.  Find the true error ${\textstyle E_{t}}$ for part (a).
3.  Find the absolute relative true error ${\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$ for part (a).

Zgjidhje

1. The solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows.

   $$\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack$$

   $${\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}$$

   Using the composite trapezoidal rule formula $${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}$$

   $${\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}$$
2. The exact value of the above integral can be found by integration by parts and is $$\int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387$$ So the true error is $${\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}$$
3. The absolute relative true error is $$\displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}$$

The solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows.

$\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack$

${\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}$

Duke përdorur rregullin e përbërë të trapezit

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}$

Vlera ekzakte e integralit të mësipërm mund të gjehet me metodën e integrimit me pjesë dhe është

$\int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387$

Pra gabimi i vërtetë është

${\begin{aligned}E_{t}&={\text{Vlera e vërtetë}}-{\text{Vlera e përafërt}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}$

Gabimi relativ absolut është:

$\displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{Gabimi}}{\text{Vlera e vërtetë}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}$