Sfera e Blokut

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Sfera e Blokut

mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në menyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirëne e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në vecanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë. Cdo cift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në menyre mutuale një cifti gjëndjesh ekskulzive të një therrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.

Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study.

Kubiti[redakto | redakto tekstin burimor]

Në menyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket dhe  ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e të jenë reale dhe jo-negative. Pra ka një paraqitje si

me

Përvec rastit ku është një nga vektoret ket ose , kjo paraqitje është unike, pra. sssssssssssparametrat dhe specifikojne në menyre unike një pikë në sferën njesi në hapësirën Euklidiane , nga pikëpamja vizuale, pika kordinata e së cilës janë

Një përgjithësim për gjëndjet e pastra[redakto | redakto tekstin burimor]

Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore Hn. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcakimit bashkesia e rrezeve 1-dimensionale të Hn.

Teoreme. Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të Hn mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte

Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të Hn. Ky veprim është i vazhdueshem dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit

Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor. Meqenese ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortoigonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremes del nga faktet bazë për grupe veprimi tranzitive të grupeve kompakte.

Fakti i rendesishem këtu është që grupet unitare veprojne në menyre tranzitive në gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(n) është n2. Kjo shikohet lehtë meqenese relacioni eksponencial

është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matrices komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2.

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të Hn është 2n − 2.

Në fakt,

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një rregjistri kuantik me m kubite është 2m+1 − 2.

Gjeometria e operatoreve të densitetit[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]