Teorema e Ehrenfestit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Teorema e Ehrenfestit, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është

Ku A është nje operator në MK dhe është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është dicka që pritet në teorinë e Hajzenbergut te mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Hajzenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremë e Ljuvilit nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin parentezat e Puasonit në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban nje komutator mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me parantezat e Puasonit dhe duke e shumëzuar me .

Derivimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Supozoni se kemi një sistem në një gjëndje kuantike . Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra , nga përcaktimi

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësiren. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Shrodingerit, gjejmë se

dhe

Vini re qe sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi

Shembull i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht

ku x është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndyshimin e çastit të momentit p. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi

meqënëse p komuton me vetveten dhe meqënëse kur paraqitet në hapesiren kordinative, operatori i momentit then . Gjithashtu

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dyte te Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shume thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.

Shënime[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. Në notacionin Bra-ket
ku është operatori Hamiltonian , dhe H është Hamiltoniani i cili paraqitet në hapësiren kordinative (si në rastin e derivimit më lart). Në fjalë të tjera, pasi aplikuam operatorin e adjuguar mbi të gjithë ekuacionin e Shrodingerit, kjo ndryshoi radhen e zbatimit për H dhe .