Teorema e Ehrenfestit

Teorema e Ehrenfestit, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko-kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$

Ku A është një operator në MK dhe $\langle A\rangle$ është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është diçka që pritet në teorinë e Heisenbergut të mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Heisenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremën e Liouville-it nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin kllapat e Poisson-it (parentezat e Puasonit) në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban një komutator, mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me kllapat e Poisson-it dhe duke e shumëzuar me $i\hbar$.

Derivimi

Supozoni se kemi një sistem në një gjendje kuantike $\Phi$. Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra, nga përcaktimi:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3}$

$=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3}$

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësirën. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Schrödinger-it, gjejmë se:

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi$

dhe

${\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.$

Vini re që $H=H^{*}$ sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .$

Shembull i përgjithshëm

Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht:

$H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$

ku x është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndryshimin e çastit të momentit p. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi:

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

meqenëse p komuton me vetveten dhe meqenëse kur paraqitet në hapësirën koordinative, operatori i momentit $p=-i\hbar \nabla$ atëherë ${\frac {\partial p}{\partial t}}=0$. Gjithashtu:

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}.$

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim:

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,$

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dytë të Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shumë thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.