Ekuacioni i Shrodingerit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

fizikë, veçanërisht në mekanikën kuantike, ekuacioni i Shrodingerit është një ekuacion që përshkruan se si gjendja kuantike e një sistemi fizik ndryshon në kohe. Ekuacioni në fjalë është një nga gurët themelore të mekanikës kuantike ashtu si Ligjet e Njutonit janë për mekanikën klasike.

Në interpretimin standard të mekanikës kuantike, gjendja kuantike, e cila gjithashtu njihet si funksioni valor ose vektori i gjendjes, është përshkrimi më i plote që mund të jepet për një sistem fizik. Zgjidhjet e ekuacionit të Shrödingerit përshkruajnë sistemet atomike dhe nënatomike, elektronet dhe atomët, si dhe sistemët makroskopike. Ekuacioni është i emëruar sipas Ervin Shrödinger i cili e zbuloi atë në 1926.[1]

Ekuacioni i Shrödingerit mund të transformohet matematikisht në formalizmin e Hajzenbergut, si dhe në integralin e shtigjeveFajmanit. Ekuacioni i Shrödingerit përshkruan kohën në një mënyre jo të dobishme për përdorim në teoritë relativiste, ky problem vihet më pak në dukje për formulimin e Hajzenbergut si dhe mungon komplet në formulimin mbi integralin e shtegjeve.

Ekuacioni i Shrodingerit[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni i Shrodingerit është një ekuacion i dhëne në shumë forme të ndryshme.

Sistem kuantik i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Për një sistem kuantik të përgjithshëm :

i\hbar {d\Psi \over dt} = \hat H \Psi

ku

Thërrmija e vetme në të tre dimensionet[redakto | redakto tekstin burimor]

Për një thërrmije të vetme në tre dimensione :

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V(x,y,z)\psi

ku

  • \psi është funksioni valor, e cila është amplituda e probabilitetit për thërrmijën e cila ka një pozicion në një kohë të caktuar.
  • m është masa e thërrmijës.
  • V(x,y,z) është energjia potenciale që thërrmija ka në çdo pozicion.

Zhvillimi historik[redakto | redakto tekstin burimor]

Ajnshtajni i interpretoi kuantet e Plankut si fotone, thërrmijat e dritës, dhe propozoi që energjia e fotonit është në përpjesëtim të drejte me frekuencën e tij, e cila vurin ne pah dualitetin misterioz grimce-vale. Meqenëse energjia dhe momenti janë të lidhura në të njëjtën mënyresi frekuenca dhe numri valorteorinë e relativitetit, del që momenti (impulsi) i një fotoni është proporcional me numrin valor të tij.

DeBrojli hipotezoi se kjo mund të ishte e vërtete për të gjitha thërrmijat, për elektronet si dhe për fotonet, që energjia dhe momenti i elektronit janë të lidhura me frekuencën dhe numrin valor të një vale materiale. Duke marre parasysh se valët udhëtojnë rreth shtegjeve klasike, ai tregoi se ato formojnë vale të qëndrueshme vetëm për disa frekuenca të caktuara diskrete, nivele diskrete të energjisë të cilat japin konditën e vjetër kuantike.

Duke ndjekur këto ide, Shrodingeri mendoi për të gjetur ekuacionin e duhur të valës për elektronin. Në këtë ai mori si parim udhëheqjes analogjinë e Hamiltonit midis mekanikës klasike dhe optikes, te enkoduar në vehgimin se limiti me gjatësi valore zero në optike i ngjason sistemeve mekanike --- trajektorja e dritës sillet sipas parimit te veprimit minimal. Hamiltoni besonte se mekanika që limiti me gjatësi valore zero i propagimit të valëve, por ai nuk e formuloi dot ekuacionin për ato vale. Kjo është ajo që bëri Shrodingeri, një version më modern i logjikes se problemit të tij jepet në seksionin tjetër. Ekuacioni që ai gjeti është (në njësi natyrale) :

i \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)=-\frac{1}{2m}\nabla^2\Psi(x,\,t) + V(x)\Psi(x,\,t)

Duke përdorur këte ekuacion, Shrodingeri llogariti vijat spektrale për hidrogjenin duke e trajtuar atomin e hidrogjenit me një [elektroni|elektron]] të vetëm të ngarkuar si një valë, \Psi(x,\,t)\;, që lëviz në një mur potencial, V, të krijuar nga një proton i ngarkuar pozitivisht. Kjo llogaritje dha nivelet e energjisë së modelit të Borit.

Megjithatë kjo nuk mjaftonte, sepse gjate kësaj kohe Sommerfeld kishte arritur të jepte në mënyre korrekte korrektimet relativiste. Shrodingeri përdori relacionin relativist midis momentit (impulsit) dhe energjisë për të gjetur atë që tani njihet me emrin ekuacioni Klein-Gordon në një potencial Kulombi :


\left(E + {e^2\over r} \right)^2 \psi(x) = - \nabla^2\psi(x) + m^2 \psi(x)

Ai gjeti valët e qëndrueshme të këtij ekuacioni relativist, por korrektimet relativiste në këtë rast binin në kundërshtim me formulën e Sommerfeldit. I diskurajuar, ai i vendosi llogaritjet e tij mënjane dhe mori disa pushime me të dashurën e tij në një kabine alpine.

Gjate kohës së shpenzuar aty, Shrodingeri vendosi që llogaritjet jorelativistike kishin informacion të ri të mjaftueshëm për tu publikuar, kështu që ai vendosi ta linte problemin e korrektimeve relativiste për të ardhmen. Në dorëshkrimit e publikuar më 1926 ai tregoi derivimin e ekuacionit të tij valor si dhe analizën spektrale të hidrogjenit.[2]. Publikimi u prit shumë mirë nga Ajnshtajni, i cili i shikonte valët materiale si ilaç për formalizmin e tejskajshme të mekanikës se matricave.

Ekuacioni i Shrodiongerit tregon sjelljen e \psi , por nuk thotë se çfare \psi është. Shrodingeri u përpoq në mënyre të pasuksesshme, në letrën e tij të katërt ta interpretonte atë si sensitetin e ngarkesës.[3]1926 Maks Born, vetëm disa dite pasi publikimi i katërt dhe i fundit i Shrodingerit u publikua, interpretoi në mënyre të suksesshme \psi si një amplitude probabiliteti[4]. Shrodingeri, megjithatë, asnjëherë nuk e pëlqeu interpretimin statistik ose atë probabilistik, se bashku me mungesene e vazhdimesise ; ashtu si Ajnshtanjni, i cili besonte se mekanika kuantike që një përafrim statistik i një teorie me të thelle deterministe, Shrodingeri kurrë nuk u pajtua me interpretimin e Kopenhagenit.[5]

Derivimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Nje derivim i shkurtër heuristik[redakto | redakto tekstin burimor]

Hipotezat[redakto | redakto tekstin burimor]

(1) Energjia e plote E e thërrmijës është
E= T + V = \frac{p^2}{2m}+V
Kjo është shprehja klasike për një thërrmije me mase m ku energjia totale E është shuma e energjisë kinetike, \frac{p^2}{2m}, dhe energjisë potenciale V. Momenti i një thërrmije është p, ose mase here shpejtësi. Energjia potenciale merrte e tille që ndryshoje me pozicionin, si edhe me kohën.
Vini re se energjia E dhe momenti p shfaqen në dy relacionet e mëposhtme :
(2) Hipoteza kuantike e Ajnshtjnit për dritën e 1905, e cila pohon se energjia E e fotonit është në përpjesëtim të drejte me frekuencën f të valës elektromagnetike korresponduese :
E = h f  = {h \over 2\pi} (2\pi f)  = \hbar \omega \;
ku frekuenca f e kuantit të rrezatimit (fotoneve) janë të lidhura nga konstantja e Plankut h,
dhe \omega = 2\pi f\; është frekuenca këndore e valës.
(3) Hipoteza e de Brojlit e 1924, e cila pohon se çdo thërrmije mund të asociohet me një valë, e cila paraqitet matematikisht nga një funksion valor Ψ, si dhe momenti p i thërrmijes që lidhet me gjatësinë valore λ të valës përkatëse nga :
p = { h \over \lambda }  =  { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;
ku \lambda\, është gjatesia e vales dhe k = 2\pi / \lambda\; është numri valor i valës.
Po të shprehim p dhe k si vektorë, ne kemi
\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;

Shprehja e funksionit valor si një valë planare komplekse[redakto | redakto tekstin burimor]

Ideja gjeniale e Shrodingerit, në fund të 1925, që të shprehte fazën e një valë planare si një faktor faze kompleks :

\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

dhe të kuptonte se nga

 \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi

atëherë

 E \Psi = \hbar \omega \Psi =  i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi

dhe në mënyre të njëjte meqenëse :

 \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi

atëherë

 p_x \Psi = \hbar k_x \Psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \Psi

kështu që:

 p_x^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi

pra, për një valë planare, ai arriti tek :

 p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi

Duke futur këto shprehje për energjinë dhe momentin në formulën klasike arrimë tek ekauacioni i famshëm i Shrodingerit për një thërrmije të vetme në rastin 3-dimensional ne prani te një potenciali V:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi


Nje diskutim me i zgjatur[redakto | redakto tekstin burimor]

Versionet[redakto | redakto tekstin burimor]

Ka shumë ekuacione që marrin emrin e Shrodingerit :

Ekuacioni me varësi kohore[redakto | redakto tekstin burimor]

Ky është ekucioni i lëvizjes për një gjendje kuantike. Në formën më të përgjithshme, ai shkruhet :


i\hbar{\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t) = \hat H \Psi(x,\,t)

Ku \hat H është një operator linear që vepron mbi funksionin valor \Psi. \hat H merr si input një \Psi dhe prodhon një tjetër në një mënyre lineare, një version i hapësirës së funksioneve të një matrice që shumëzon një vektor. Për rastin specifik te një thërrmije të vetme te në një dimension që lëviz nën një potencial V:


i\hbar{\partial \over \partial t} \Psi(x,\,t)= -{1\over 2m} {\partial^2 \over \partial x^2} \Psi(x,\,t)+ V(x)\Psi(x,\,t)
\,

dhe operatori H mund të lexohet :


\hat H = -{1\over 2m} {\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)
\,

është një kombinim i operatorit që merr derivatin e dyte, dhe operatorit që shumëzon \Psi me V(x). Kur vepron mbi \Psi ai prodhon anën e djathte.

Për një thërrmije në tre dimension, diferenca e vetme është me shumë derivate:


i\hbar{\partial \over \partial t}\Psi(x,\,t)= -{1\over 2m} \nabla^2 \Psi(x,\,t)+ V(x)\Psi(x,\,t)
\,

dhe për rastin e N thërrmijave, diferenca është se funksioni valor është në një hapësire konfigurimi 3N-dimensionale, hapësira e të gjitha pozicioneve të mundshme të thërrmijave.


i\hbar{\partial \over \partial t} \Psi(x_1,...,x_n,t) = (-{\nabla_1^2\over 2m_1} - {\nabla_2^2 \over 2m_2} ... - {\nabla_N^2\over 2m_N} ) \Psi(x_1,...,x_n,t) + V(x_1,..,x_N,t)\Psi(x_1,...,x_n,t)
\,

Ekuacioni i fundit është në një dimension shumë të madh, kështu që zgjidhjet nuk janë të lehta për tu vizualizuar.

Ekuacioni me pavarësi kohore[redakto | redakto tekstin burimor]

Ajgengjendjet e energjisë[redakto | redakto tekstin burimor]

Vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

I Rendit të Pare në Kohe[redakto | redakto tekstin burimor]

Linear[redakto | redakto tekstin burimor]

Ajgenvlera reale[redakto | redakto tekstin burimor]

Evolucion kohor unitar[redakto | redakto tekstin burimor]

Energji Pozitive[redakto | redakto tekstin burimor]

Gjendja me energji me të ulet e përcaktuar dhe jodegjeneruese[redakto | redakto tekstin burimor]

Kompletesia[redakto | redakto tekstin burimor]

Konservim lokal i Probabilitetit[redakto | redakto tekstin burimor]

Madhësitë e observueshme të Hajzenbergut[redakto | redakto tekstin burimor]

Parimi i korrespondencës[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Teorema e Ehrenfestit.

Ekuacioni i Shrodingerit kënaq parimin e korrespondencës. Në limitin e paketave valore me gjatësi të vogël vale, ai jep ligjet e Njutonit. Kjo është shumë e lehtë për të shikuar nga pikëpamja e mekanikës së matricave.

Të gjithë operatoret në formalizmin e Hajzenbergur i binden ekuacioneve kuantike analoge të Hamiltonit :


{dA \over dt} = -i\hbar (AH - HA)

Kështu që në veçanti, ekuacionet e lëvizjes për operatoret X dhe P janë :


{dX \over dt} = {P\over m}

{dP \over dt} = - {\partial V \over \partial x}

pikturën e Shrodingerit, interpretimi i këtij ekuacioni është se ai jep ndryshimin në kohe të elementeve të matricës midis dy gjendjeve kur gjendja ndryshon në kohe. Po të marrim vlerën mesatare në çdo gjendje del se ligjet e Njutonit janë të vërteta jo vetëm në mënyre mesatare, por ekzaktesisht, për madhësitë :


\langle X\rangle = \int_x \psi^*(x)\psi(x) x = \langle \psi|X|\psi \rangle 
\,

\langle P\rangle = \int_x \psi^*(x) i\hbar {\partial \psi \over \partial x}(x) = \langle \psi |P|\psi\rangle
\,

Relativiteti[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Ekuacioni relativist valor.


Zgjidhjet e ekuacionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Disa teknika të përgjithshme janë :

Në disa raste speciale, metoda speciale mund të përdoren :

Ekuacioni i lire i Shrodingerit[redakto | redakto tekstin burimor]

Paketa valore Gausiane[redakto | redakto tekstin burimor]

Invarianca Galileane[redakto | redakto tekstin burimor]

Propaguesi i lire[redakto | redakto tekstin burimor]

Vazhdimësia Analitike të Difuzioni[redakto | redakto tekstin burimor]

Principi i variacionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Potenciali dhe gjendja e energjisë me të ulet[redakto | redakto tekstin burimor]

Oshilatori Harmonik[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Oshilatori harmonik kuantik.

W rritet në infinit, kështu që funksioni valor ka një integral të fundem. Forma me e thjeshtë analitike është :


W(x) = \omega x^2
\,

me një konstante arbitrare \omega, e cila jep një potencial :


V(x) = {1\over 2} \omega^2 x^2 - {\omega \over 2}
\,

Ky potencial përshkrua oshilatorin harmonik, me funksion valor për gjendjen me energji me të ulet :


\psi(x) = e^{-\omega x^2 }
\,

Energjia e plote është zero, por potenciali është i zhvendosur me një konstante. Energjia e gjendjes me të ulet për potencialin e oshilatorit harmonik të zakonshëm të pavendosur :


V(x) = {\omega x^2 \over 2}
\,

është nje konstante aditive:


E_0 = {a\over 2}
\,

e cila është energjia e pikës zero për oshilatorin.

Potenciali i Kolombit[redakto | redakto tekstin burimor]

Një formë tjetër e thjështë por shumë e dobishme është


W(x) = 2a|x|
\,

ku W është proporcionale me koordinatën rrezore. Kjo është gjendja me energji me të ulet për dy potenciale të ndryshme, në varësi të dimensionit. Në një dimension, potenciali korrespondues është singular tek origjina, ku ka një densitet jo-zero :


V(x) = 2a^2 + a \delta(x)
\,

dhe, deri tek një varkonstante që përdoret për rishkallëzimin e variablave, kjo është energjia me e ulet për një funksion potencial delta, po të shtojmë energjinë e gjendjes me të ulet.


V(x) = a \delta(x)
\,

me energjinë e gjendjes me të ulet :


E_0 = - 2a^2
\,

dhe funksionin valor të gjendjes me energji me të ulet :


\psi = e^{-2a|x|}
\,

Formalizmi i operatoreve[redakto | redakto tekstin burimor]

Notacioni Bra-ket[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Bra-ket.

Invarianca Galeliane[redakto | redakto tekstin burimor]

Shiko gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ^ Schrödinger, Erwin (December 1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Phys. Rev. 28 (6): 1049–1070. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. 
  2. ^ Erwin Schrödinger, Annalen der Physik, (Leipzig) (1926), Main paper
  3. ^ Schrödinger: Life and Thought nga Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, faqja 219 (version me kapak të trashë)
  4. ^ Schrödinger: Life and Thought nga Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, faqja 220
  5. ^ Schrödinger: Life and Thought nga Walter John Moore, Cambridge University Press 1992 ISBN 0-521-43767-9, faqja 479 (versioni me kapak të trashe) e bën të qarte se edhe në vitet e fundit të jetës së tij në një letër drejtuar Max Born, ai kurrë nuk e pranoi interpretimin e Kopenhagenit. cf pg 220

Kritike librash[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Paul Adrien Maurice Dirac: The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press 1958


Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]