Vetia e shoqërimit

Në matematikë, vetia e shoqërimit është një veti e disa veprimeve binare, që do të thotë se rirregullimi i kllapave në një shprehje nuk do të ndryshojë rezultatin. Në logjikën propozicionale, shoqërimi është një rregull i vlefshëm i zëvendësimit të shprehjeve në provat logjike .

Brenda një shprehjeje që përmban dy ose më shumë raste të të njëjtit veprim shoqërues, radha në të cilën kryhen veprimet nuk ka rëndësi për sa kohë që vargu i veprutasve nuk është ndryshuar. Kjo do të thotë se rirregullimi i kllapave në një shprehje të tillë nuk do të ndryshojë vlerën e saj. Merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme:

$${\begin{aligned}(2+3)+4&=2+(3+4)=9\,\\2\times (3\times 4)&=(2\times 3)\times 4=24.\end{aligned}}$$

Edhe pse kllapat u riorganizuan në çdo rresht, vlerat e shprehjeve nuk u ndryshuan. Meqenëse kjo është e vërtetë kur kryeni mbledhje dhe shumëzim në çdo numër real, mund të thuhet se "mbledhja dhe shumëzimi i numrave realë janë veprime shoqëruese".

Veprimet shoqëruese janë të shumta në matematikë; në fakt, shumë struktura algjebrike (të tilla si gjysmëgrupet dhe kategoritë ) kërkojnë në mënyrë të qartë që veprimet e tyre binare të jenë shoqëruese.

Megjithatë, shumë veprime të rëndësishme dhe interesante janë jo-shoqëruese; disa shembuj përfshijnë zbritjen, fuqizimin dhe prodhimin e kryqëzuar vektorial . Në kontrast me vetitë teorike të numrave realë, shtimi i numrave me pikë lundruese në shkencën kompjuterike nuk është shoqërues dhe zgjedhja se si të lidhet një shprehje mund të ketë një efekt të rëndësishëm në gabimin e rrumbullakimit.

E ç'është vetia shoqëruese?

Një veprim binar ∗ në bashkësinë S është shoqërues kur ky diagram ndryshon . Kjo do të thotë, kur dy shtigjet nga S × S × S në S përbëhen tek i njëjti funksion nga S × S × S në S

Formalisht, një veprim binar ∗ në një bashkësi $S$ quhet shoqërues nëse plotëson ligjin asociativ :

 

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) për të gjitha x, y, z in S.

Këtu, ∗ përdoret për të zëvendësuar simbolin e veprimit, i cili mund të jetë çdo simbol, madje edhe mungesa e simbolit ( përballja ) si për shumëzimin .

 

(xy)z = x(yz) = xyz për të gjitha x, y, z in S.

Ligji shoqërues mund të shprehet edhe në shënimin funksional kështu: $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ .

Shembuj

Mbledhja e numrave realë është shoqëruese.

• Në aritmetikë, mbledhja dhe shumëzimi e numrave realë janë shoqëruese; i.e.,
  $$\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{për të gjitha }}x,y,z\in \mathbb {R} .$$
  Për shkak të shoqërimit, kllapat mund të hiqen pa shkaktuar konfuzion.
• Veprimi trivial x ∗ y = x është shoqërues por jo ndërrues. Njëlloj, veprimi trivial x ∘ y = y është shoqërues por jo.
• Mbledhja dhe shumëzimi i numrave kompleksë dhe kuaternioneve. Mbledhja e oktonioneve është shoqëruese, por shumëzimi nuk është.
• Funksionet PMP dhe SHVP gëzojnë vetinë e shoqërimit.
  $$\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ për të gjitha }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$$
• Ndryshesa dhe bashkimi i bashkësive:
  $$\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for all sets }}A,B,C.$$
• Nëse M është një bashkësi dhe S shënon bashkësinë e të gjitha funksioneve ngaM në M, atëherë veprimi i përbërjes së funksioneve në S është shoqërues:
  $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{për të gjitha}}f,g,h\in S.$$
• Shumëzimi i matricave.
• Për numrat realë dhe çdo bashkësi tërësisht të renditur, funksionet e maksimumit dhe minimumit janë shoqëruese:
  $$\max(a,\max(b,c))=\max(\max(a,b),c)\quad {\text{ dhe }}\quad \min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b),c).$$