Ekuacioni diferencial i pjesshëm eliptik

Ekuacionet diferenciale të pjesshme lineare të rendit të dytë (EDP) klasifikohen si eliptike, hiperbolike ose parabolike . Çdo EDP lineare e rendit të dytë me dy ndryshore mund të shkruhet në formën

Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,

ku $A,B,C,D,E,F{\text{ dhe }}G$ janë funksione të $x$ dhe $y$ dhe ku $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$ , $u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$ dhe në mënyrë të ngjashme për $u_{xx},u_{y},u_{yy}$ . Një EDP i shkruar në këtë formë është eliptik nëse

B^{2}-AC<0,

me këtë konventë emërtimi të frymëzuar nga ekuacioni për një elips planar .

Shembujt më të thjeshtë të EDP-ve eliptike janë ekuacioni i Laplasit, $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ dhe ekuacioni i Puasonit, $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$ Në një farë kuptimi, çdo EDP tjetër eliptike me dy ndryshore mund të konsiderohet të jetë një përgjithësim i një prej këtyre ekuacioneve, pasi mund të vihet gjithmonë në formën kanonike

u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (termat e rendeve më të ulëta)}}=0

përmes një ndryshimi të variablave. ^[1] ^[2]

^ Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Zauderer, Erich (1989). Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. ISBN 0-471-61298-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[pinchover-1] Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Zauderer-2] Zauderer, Erich (1989). Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. ISBN 0-471-61298-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]