Funksioni beta

Grafiku konturor i funksionit beta

Në matematikë, funksioni beta, i quajtur edhe integrali i Eulerit i llojit të parë, është një funksion i veçantë që lidhet ngushtë me funksionin gama dhe me koeficientët binomialë . Përcaktohet nga integrali

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

për hyrjet e numrave kompleksë $z_{1},z_{2}$ sikurse $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$ .

Vetitë

Funksioni beta është simetrik, që do të thotë se $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ për të gjitha inputet $z_{1}$ dhe $z_{2}$ .

Një veti kryesore e funksionit beta është marrëdhënia e tij e ngushtë me funksionin gama :

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.$

Përafrim

Përafrimi i Stirlingut jep formulën asimptotike

$\mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

për x dhe y të mëdha.