Krehëri i Dirakut

Grafiku i funksionit të krëhërit Dirak është një seri e pafundme funksionesh delta të Dirakut të vendosura në intervale prej $T$ njësish kohore.

Në matematikë, një krehër Dirak (i njohur gjithashtu si funksioni sha, treni i impulsit ose funksioni i kampionimit ) është një funksion periodik me formulën$$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$$për një periodë të dhënë $T$ . Këtu t është një ndryshore reale dhe shuma shtrihet mbi të gjithë numrat e plotë k. Funksioni i deltës së Dirakut $\delta$ dhe krëhëri i Dirakut janë shpërndarje të zbutura . Grafiku i funksionit i ngjan një krehëri (me $\delta$ s si dhëmbët e krëhërit ), prandaj emri i tij dhe përdorimi i shkronjës cirilike sha (Ш) të ngjashme me krehërin për të shënuar funksionin.

Simboli $\operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)$, ku perioda është lënë jashtë, përfaqëson një krehër Diraku të periodës njësi. Kjo nënkupton $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).$$Për shkak se funksioni i krëhërit të Dirakut është periodik, ai mund të përfaqësohet si një seri Furie e bazuar në bërthamën e Dirichlet : $$\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.$$Funksioni i krëhërit të Dirakut lejon që të përfaqësohen dukuri të vazhduara dhe diskrete, të tilla si marrja e kampioneve dhe aliasing, në një kuadër të vetëm të analizës së vazhdueshme të Furjesë në shpërndarjet e temperuara, pa asnjë referencë për seritë Thurje. Transformimi Furje i një krëhëri Dirak është një tjetër krehër Dirak. Për shkak të teoremës së thurjes mbi shpërndarjet e kalitura, e cila rezulton të jetë formula e përmbledhjes Poisson, në përpunimin e sinjalit, krëhëri i Dirakut lejon modelimin e kampionimit duke u shumëzuar me të, por gjithashtu lejon modelimin e periodizimit me konvolucionin me të.

Transformimi Furje

${\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},$

${\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~$