Mesatarja logaritmike

Komplot tre-dimensional që tregon vlerat e mesatares logaritmike.

Në matematikë, mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) është një funksion i dy numrave jo-negativ i cili është i barabartë me ndryshimin e tyre i ndarë me logaritmin e herësit të tyre.

Përkufizimi

Mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) përcaktohet si:

${\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln(y)-\ln(x)}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}$

për numrat pozitivë $x,y$ .

Pabarazitë

Mesatarja logaritmike (mesi logaritmik) e dy numrave është më e vogël se mesatarja aritmetike dhe mesatarja e përgjithësuar me një eksponent një të tretën por më e madhe se mesatarja gjeometrike, përveç nëse numrat janë të njëjtë, në këtë rast të tre mjetet janë të barabartë me numrat.

${\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.$

Rrjedhje

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale

Nga teorema e vlerës mesatare, ekziston një vlerë $\xi$ në intervalin ndërmjet x dhe y ku derivati $f'$ është e barabartë me pjerrësinë e vijës secant :

$\exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$

Mesatarja logaritmike merret si vlera e $\xi$ duke zëvendësuar $\ln$ për $f$ dhe në mënyrë të ngjashme për derivatin e tij përkatës:

${\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{x-y}}$

dhe zgjidhja për $\xi$ :

$\xi ={\frac {x-y}{\ln(x)-\ln(y)}}$

Integrimi

Mesatarja logaritmike mund të interpretohet gjithashtu si zonë nën një kurbë eksponenciale .

${\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}\end{aligned}}$

Interpretimi i zonës lejon nxjerrjen e lehtë të disa vetive themelore të mesatares logaritmike. Meqenëse funksioni eksponencial është monotonik, integrali mbi një interval me gjatësi 1 kufizohet nga $x$ dhe $y$ . Homogjeniteti i operatorit integral transferohet tek operatori mesatar, dmth $L(cx,cy)=cL(x,y)$ .

Dy paraqitje të tjera të dobishme integrale janë$${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}$$dhe$${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.$$

Përgjithësimi

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale

Dikush mund të përgjithësojë mesataren për $n+1$ ndryshoret duke marrë parasysh teoremën e vlerës mesatare për ndryshimet e ndara për $n$ derivati i logaritmit.

Ne marrim

$L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}$

ku $\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)$ tregon një ndryshim të ndarë të logaritmit.

Për $n=2$ kjo çon në

$L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left(\left(y-z\right)\ln \left(x\right)+\left(z-x\right)\ln \left(y\right)+\left(x-y\right)\ln \left(z\right)\right)}}}$ .

Integrali

Interpretimi integral mund të përgjithësohet në më shumë variabla, por çon në një rezultat tjetër. Duke pasur parasysh thjeshtësinë ${\textstyle S}$ me ${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$ dhe një masë e përshtatshme ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$ i cili i përcakton thjeshtëzit një vëllim prej 1, marrim

$L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha$

Kjo mund të thjeshtohet duke përdorur ndryshimet e ndara të funksionit eksponencial në

$L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]$ .

Shembull ${\textstyle n=2}$

$L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}$ .

Lidhja me mjete të tjera

• Mesatarja aritmetike : ${\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}$

• Mesatarja gjeometrike : ${\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}$

• Mesatarja harmonike : ${\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

Shiko gjithashtu

• Një mesatare e ndryshme që lidhet me logaritmet është mesatarja gjeometrike .
• Mesatarja logaritmike është një rast i veçantë i mesatares Stolarsky .
• Diferenca mesatare logaritmike e temperaturës
• Seminarizimi i logaritmit

Referime

Citimet

Bibliografi

• Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92