Mesatarja logaritmike

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Komplot tre-dimensional që tregon vlerat e mesatares logaritmike.

matematikë, mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) është një funksion i dy numrave jo-negativ i cili është i barabartë me ndryshimin e tyre i ndarë me logaritmin e herësit të tyre.

Përkufizimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) përcaktohet si:

për numrat pozitivë .

Pabarazitë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Mesatarja logaritmike (mesi logaritmik) e dy numrave është më e vogël se mesatarja aritmetike dhe mesatarja e përgjithësuar me një eksponent një të tretën por më e madhe se mesatarja gjeometrike, përveç nëse numrat janë të njëjtë, në këtë rast të tre mjetet janë të barabartë me numrat.

[1] [2] [3]

Rrjedhje[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nga teorema e vlerës mesatare, ekziston një vlerë në intervalin ndërmjet x dhe y ku derivati është e barabartë me pjerrësinë e vijës secant :

Mesatarja logaritmike merret si vlera e duke zëvendësuar për dhe në mënyrë të ngjashme për derivatin e tij përkatës:

dhe zgjidhja për  :

Integrimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Mesatarja logaritmike mund të interpretohet gjithashtu si zonë nën një kurbë eksponenciale .

Interpretimi i zonës lejon nxjerrjen e lehtë të disa vetive themelore të mesatares logaritmike. Meqenëse funksioni eksponencial është monotonik, integrali mbi një interval me gjatësi 1 kufizohet nga dhe . Homogjeniteti i operatorit integral transferohet tek operatori mesatar, dmth .

Dy paraqitje të tjera të dobishme integrale janë

dhe

Përgjithësimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dikush mund të përgjithësojë mesataren për ndryshoret duke marrë parasysh teoremën e vlerës mesatare për ndryshimet e ndara për derivati i logaritmit.

Ne marrim

ku tregon një ndryshim të ndarë të logaritmit.

Për kjo çon në

.

Integrali[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Interpretimi integral mund të përgjithësohet në më shumë variabla, por çon në një rezultat tjetër. Duke pasur parasysh thjeshtësinë me dhe një masë e përshtatshme i cili i përcakton thjeshtëzit një vëllim prej 1, marrim

Kjo mund të thjeshtohet duke përdorur ndryshimet e ndara të funksionit eksponencial në

.

Shembull

.

Lidhja me mjete të tjera[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  • Mesatarja aritmetike :
  • Mesatarja gjeometrike :
  • Mesatarja harmonike :

Shiko gjithashtu[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  • Një mesatare e ndryshme që lidhet me logaritmet është mesatarja gjeometrike .
  • Mesatarja logaritmike është një rast i veçantë i mesatares Stolarsky .
  • Diferenca mesatare logaritmike e temperaturës
  • Seminarizimi i logaritmit

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Citimet
  1. ^ B. C. Carlson (1966). "Some inequalities for hypergeometric functions". Proc. Amer. Math. Soc. 17: 32–39. doi:10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ B. Ostle; H. L. Terwilliger (1957). "A comparison of two means". Proc. Montana Acad. Sci. 17: 69–70. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ Tung-Po Lin. "The Power Mean and the Logarithmic Mean". The American Mathematical Monthly. doi:10.1080/00029890.1974.11993684. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Bibliografi