Operatori diferencial

Një funksion harmonik i përcaktuar në një unazë . Funksionet harmonike janë pikërisht ato funksione që qëndrojnë në bërthamën e operatorit të Laplasit, një operator diferencial i rëndësishëm.

Në matematikë, një operator diferencial është një operator i përcaktuar si funksion i operatorit të diferencimit . Është i dobishëm, si çështje shënimi, së pari, të konsiderohet diferencimi si një veprim abstrakt që pranon një funksion dhe kthen një funksion tjetër (në stilin e një funksioni të rendit më të lartë në shkencën kompjuterike ).

Ky artikull shqyrton kryesisht operatorët diferencialë linearë, të cilët janë lloji më i zakonshëm. Megjithatë, ekzistojnë edhe operatorë diferencialë jolinearë, siç është derivati Schwarzian .

Përkufizimi

Duke pasur parasysh një numër të plotë jonegativ m, një urdhër- $m$ operatori diferencial linear është një hartë $P$ nga një hapësirë funksioni ${\mathcal {F}}_{1}$ në një hapësirë tjetër funksioni ${\mathcal {F}}_{2}$ që mund të shkruhet si:

$$Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

ku $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ është një multi-indeks i numrave të plotë jo negativë, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, dhe për secilën $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ është një funksion në një fushë të hapur në hapësirë n -dimensionale. Operatori $D^{\alpha }$ interpretohet si

$$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$$

Kështu për një funksion $f\in {\mathcal {F}}_{1}$ :

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

Shënimi $D^{\alpha }$ është i justifikuar (dmth. i pavarur nga rendi i diferencimit) për shkak të simetrisë së derivateve të dyta.

Polinomi p përftohet duke zëvendësuar D me ndryshore $\xi$ në P quhet simboli total i P ; dmth, simboli total i P më sipër është:

$$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$$

ku $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.$ Përbërësi më i lartë homogjen i simbolit, domethënë,

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$

quhet simboli parësor i P. Ndërsa simboli total nuk është i përcaktuar në thelb, simboli parësor, në thelb, është i përcaktuar (d.m.th., është një funksion në paketën kotangjente).

Në përgjithësi, le të jenë E dhe F grupe vektoriale mbi një shumëfish X . Pastaj operatori linear

$P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

është një operator diferencial i rendit $k$ nëse, në koordinatat vendore në X, kemi

$Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{termat e rendeve të ulta}}$

ku, për çdo α multi-indekse, $P^{\alpha }(x):E\to F$ është një hartë pako, simetrike në indekset α.

Koeficientët e rendit k të P- ^të shndërrohen si tensor simetrik

$\sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F$

domeni i të cilit është prodhimi sipas tensorëve i fuqisë k ^- simetrike të paketës kotangjente të X me E, dhe kodomani i së cilës është F . Ky tensor simetrik njihet si simboli parësor (ose thjesht simboli ) i P .

Interpretimi Furier

Një operator diferencial P dhe simboli i tij shfaqen natyrshëm në lidhje me transformimin Furier si më poshtë. Le të jetë ƒ një funksion Schwartz . Pastaj nga transformimi i anasjelltë i Furierit,

$Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

Shembuj

• Operatori diferencial $P$ është eliptik nëse simboli i tij është i kthyeshëm; që është për çdo jozero $\theta \in T^{*}X$ harta e paketës $\sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )$ është e kthyeshme. Në një durth kompakt, nga teoria eliptike rrjedh se P është një operator Fredholm : ai ka kernel dhe kokernel me dimensione të fundme.
• Në studimin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme hiperbolike dhe parabolike, zerot e simbolit kryesor korrespondojnë me karakteristikat e ekuacionit diferencial të pjesshëm.
• Në zbatimet e shkencave fizike, operatorë të tillë si operatori i Laplasit luajnë një rol të madh në vendosjen dhe zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të pjesshme .
• Në topologjinë diferenciale, operatorët e derivatit të jashtëm dhe të derivatit Lie kanë kuptim të brendshëm.
• Në algjebër abstrakte, koncepti i një derivimi lejon përgjithësime të operatorëve diferencialë, të cilët nuk kërkojnë përdorimin e llogaritjes. Shpesh përgjithësime të tilla përdoren në gjeometrinë algjebrike dhe algjebrën komutative. Shihni gjithashtu Jet (matematikë) .
• Në zhvillimin e funksioneve holomorfike të një ndryshoreje komplekse z = x + i y, ndonjëherë një funksion kompleks konsiderohet të jetë një funksion i dy ndryshoreve reale x dhe y. Përdorimi bëhet nga derivatet Wirtinger, të cilët janë operatorë diferencialë të pjesshëm:
  $${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$$
  ${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$
• Operatori diferencial del, i quajtur edhe nabla, është një operator diferencial vektorial i rëndësishëm. Shfaqet shpesh në fizikë në vende si forma diferenciale e ekuacioneve të Maxwell-it. Në koordinatat karteziane tredimensionale, del përkufizohet si

$$\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.$$

Del përcakton gradientin dhe përdoret për të llogaritur kaçurrelin, divergjencën dhe laplasin e objekteve të ndryshme.