Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search
Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (gjermanisht: [ləˈʒœn diʀiˈkleː];[1] 13 shkurt 1805 - 5 maj 1859) ishte një matematikan gjerman që dha një kontribut të thellë në teorinë e numrave (duke përfshirë krijimin e fushës së teorisë analitike të numrave), të serive Furier dhe tema të tjera në analizën matematikore; ai vlerësohet si një nga matematikanët e parë që dha përkufizimin formal modern të një funksioni.

Edhe pse mbiemri i tij është Lejeune Dirichlet, ai zakonisht quhet vetëm Dirichlet, veçanërisht për rezultatet e emëruara pas tij.

Biografia[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Jeta e hershme (1805–1822)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Gustav Lejeune Dirichlet lindi më 13 shkurt 1805 në Düren, një qytet në bregun e majtë të Rhine, i cili në atë kohë ishte pjesë e Perandorisë së Parë Franceze, duke u kthyer në Prusi pas Kongresit të Vjenës në 1815. Babai i tij Johann Arnold Lejeune Dirichlet ishte drejtor poste, tregtar dhe këshilltar i qytetit. Gjyshi i tij nga babai kishte ardhur në Düren nga Richelette (ose me shumë mundësi Richelle), një komunitet i vogël 5 km (3 milje) në verilindje të Lièges në Belgjikë, nga i cili mbiemri i tij "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", frëngjisht për "Rinia nga Richelette") rrjedh.[2]

Megjithëse familja e tij nuk ishte e pasur dhe ai ishte më i vogli nga shtatë fëmijët, prindërit e tij e mbështetën arsimimin e tij. E regjistruan në një shkollë fillore dhe më pas në atë private me shpresën se më vonë do të bëhej tregtar. I riu Dirichlet, i cili tregoi një interes të fortë për matematikën para moshës 12 vjeçare, i bindi prindërit e tij që ta lejonin të vazhdonte studimet. Më 1817 e dërguan në Gjimnazin e Bonit nën kujdesin e Peter Joseph Elvenich, një student që familja e tij e njihte. Në 1820 Dirichlet u zhvendos në gjimnazin jezuit në Këln, ku mësimet e tij me Georg Ohm ndihmuan në zgjerimin e njohurive të tij në matematikë. Ai u largua nga gjimnazi një vit më vonë me vetëm një certifikatë, pasi paaftësia për të folur rrjedhshëm latinisht e pengoi të fitonte Abitur.[2]

Studimet në Paris (1822-1826)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dirichlet përsëri i bindi prindërit e tij që të siguronin mbështetje të mëtejshme financiare për studimet e tij në matematikë, kundër dëshirës së tyre për një karrierë në drejtësi. Meqenëse Gjermania ofronte pak mundësi për të studiuar matematikën e lartë në atë kohë, me vetëm GausinUniversitetin e Göttingen-it, i cili ishte nominalisht profesor i astronomisë dhe gjithsesi nuk i pëlqente mësimi, Dirichlet vendosi të shkonte në Paris në maj 1822. Atje ai ndoqi mësimet në Collège de France dhe në Universitetin e Parisit, duke mësuar matematikën nga Hachette ndër të tjera, ndërkohë që ndërmerrte studime private të Disquisitiones Arithmeticae të Gausit, një libër që ai e mbajti afër gjatë gjithë jetës së tij. Në 1823 ai iu rekomandua gjeneralit Maximilien Foy, i cili e punësoi atë si mësues privat për t'u mësuar fëmijëve të tij gjermanisht, paga që më në fund lejonte Dirichlet të bëhej i pavarur nga mbështetja financiare e prindërve të tij.[3]

Hulumtimi i tij i parë origjinal, i përbërë nga një pjesë e një prove të teoremës së fundit të Fermatit për rastin n = 5, i solli atij famë të menjëhershme, duke qenë përparimi i parë në teoremë që nga prova e vetë Fermatit për rastin n = 4 dhe prova e Euler për n = 3. Adrien-Marie Legendre, një nga gjyqtarët, së shpejti përfundoi provën për këtë rast; Dirichlet përfundoi provën e tij pak kohë pas Lezhandrit dhe disa vite më vonë paraqiti një provë të plotë për çështjen n = 14.[4] Në qershor 1825 ai u pranua të jepte leksion mbi provën e tij të pjesshme për çështjen n = 5 në Akademinë Franceze të Shkenca, një arritje e jashtëzakonshme për një student 20-vjeçar pa diplomë.[2] Leksioni i tij në Akademi kishte vënë gjithashtu Dirichlet në kontakt të ngushtë me Furierin dhe Poisson, të cilët ngritën interesin e tij në fizikën teorike, veçanërisht teorinë analitike të Furierit për nxehtësinë.

Kthimi në Prusi, Breslau (1825-1828)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kur gjenerali Foy vdiq në nëntor 1825 dhe ai nuk mund të gjente ndonjë pozicion pagues në Francë, Dirichlet duhej të kthehej në Prusi. Fourier dhe Poisson e prezantuan atë me Alexander von Humboldt, i cili ishte thirrur për t'u bashkuar me oborrin e mbretit Friedrich Wilhelm III. Humboldt, duke planifikuar ta bënte Berlinin një qendër të shkencës dhe kërkimit, i ofroi menjëherë ndihmën e tij Dirichlet-it, duke dërguar letra në favor të tij qeverisë prusiane dhe Akademisë Prusiane të Shkencave. Humboldt siguroi gjithashtu një letër rekomandimi nga Gauss, i cili pas leximit të kujtimeve të tij mbi teoremën e Fermat shkroi me një sasi të pazakontë lavdërimi se "Dirichlet tregoi talent të shkëlqyer".[5] Me mbështetjen e Humboldt dhe Gauss, Dirichlet iu ofrua një pozicion mësimor në Universitetin e Breslaut. Megjithatë, duke qenë se ai nuk kishte kaluar një disertacion doktorature, ai dorëzoi kujtimet e tij mbi teoremën Fermat si një tezë në Universitetin e Bonit. Përsëri mungesa e rrjedhshmërisë së tij në latinisht e bëri atë të paaftë për të mbajtur debatin e kërkuar publik të tezës së tij; pas shumë diskutimesh, Universiteti vendosi të anashkalojë problemin duke i dhënë një doktoratë nderi në shkurt 1827. Gjithashtu, Ministri i Arsimit i dha atij një përjashtim për mosmarrëveshjen latine të kërkuar për Habilitimin. Dirichlet fitoi Habilitation dhe dha leksione në vitin 1827–28 si Privatdozent në Breslau.[2]

Ndërsa në Breslau, Dirichlet vazhdoi kërkimin e tij teorik të numrit, duke botuar kontribute të rëndësishme në ligjin e reciprocitetit bikuadratik, i cili në atë kohë ishte një pikë qendrore e kërkimit të Gausit. Alexander von Humboldt përfitoi nga këto rezultate të reja, të cilat kishin marrë edhe vlerësime entuziaste nga Friedrich Bessel, për t'i rregulluar atij transferimin e dëshiruar në Berlin. Duke pasur parasysh moshën e re të Dirichlet (ai ishte 23 vjeç në atë kohë), Humboldt ishte në gjendje t'i jepte atij vetëm një pozicion prove në Akademinë Ushtarake Prusiane në Berlin, ndërsa mbeti i punësuar nominalisht në Universitetin e Breslaut. Prova u zgjat për tre vjet derisa pozicioni u bë i përcaktuar në 1831.

Martesa me Rebecka Mendelssohn[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dirichlet u martua në 1832 me Rebecka Mendelssohn. Ata kishin dy fëmijë, Walter (lindur 1833) dhe Flora (lindur 1845). Vizatim nga Wilhelm Hensel, 1823

Pas transferimit të Dirichlet në Berlin, Humboldt e prezantoi atë në sallonet e mëdha të mbajtura nga bankieri Abraham Mendelssohn Bartholdy dhe familja e tij. Shtëpia e tyre ishte një pikë grumbullimi javor për artistët dhe shkencëtarët nga Berlini, duke përfshirë fëmijët e Abrahamit, Felix dhe Fanny Mendelssohn, të dy muzikantë të shquar, dhe piktorin Wilhelm Hensel (burri i Fanny). Dirichlet tregoi interes të madh për vajzën e Abrahamit Rebecka, me të cilën u martua në 1832.

Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (e mbiquajtur Rebecka Mendelssohn; 11 prill 1811 – 1 dhjetor 1858) ishte një mbesë e Moses Mendelssohn dhe motra më e vogël e Felix Mendelssohn dhe Fanny Mendelssohn.[6][7] Rebecka ka lindur në Hamburg. Në 1816 prindërit e saj organizuan që ajo të pagëzohej, në të cilën moment ajo mori emrat Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. Ajo u bë pjesë e sallonit të shquar të prindërve të saj, Abraham Mendelssohn dhe gruas së tij Lea, duke pasur kontakte shoqërore me muzikantë, artistë dhe shkencëtarë të rëndësishëm në një periudhë tejet krijuese të jetës intelektuale gjermane. Në 1829 ajo këndoi një rol të vogël në premierën, dhënë në shtëpinë Mendelssohn, të Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde të Felix-it. Ajo më vonë shkroi:

Vëllai dhe motra ime e madhe më vodhën reputacionin si artist. Në çdo familje tjetër do të kisha qenë shumë i vlerësuar si muzikant dhe ndoshta si drejtues i një grupi. Pranë Feliksit dhe Fanny-t, nuk mund të aspiroja asnjë njohje.

Në 1832 ajo u martua me Dirichlet, i cili u prezantua në familjen Mendelssohn nga Alexander von Humboldt. Në vitin 1833 lindi djali i tyre i parë, Walter. Ajo vdiq në Göttingen në 1858.

Berlin (1826-1855)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Sapo erdhi në Berlin, Dirichlet aplikoi për leksione në Universitetin e Berlinit dhe Ministri i Arsimit miratoi transferimin dhe në 1831 e caktoi atë në fakultetin e filozofisë. Fakulteti i kërkoi atij të merrte një kualifikim të rinovuar për habilitim, dhe megjithëse Dirichlet shkroi një Habilitationsschrift sipas nevojës, ai e shtyu dhënien e leksionit të detyrueshëm në latinisht për 20 vjet të tjera, deri në vitin 1851. Meqenëse nuk e kishte plotësuar këtë kërkesë formale, ai mbeti i lidhur me fakultet me më pak se të drejta të plota, duke përfshirë pagesat e kufizuara, duke e detyruar atë të mbajë paralelisht detyrën e mësuesit në Shkollën Ushtarake. Në 1832 Dirichlet u bë anëtar i Akademisë Prusiane të Shkencave, anëtari më i ri në moshën 27-vjeçare.[2]

Dirichlet kishte një reputacion të mirë me studentët për qartësinë e shpjegimeve të tij dhe kënaqej me mësimdhënien, veçanërisht pasi leksionet e tij në Universitetin prireshin të ishin mbi temat më të avancuara në të cilat ai po bënte kërkime: teoria e numrave (ai ishte profesori i parë gjerman që dha leksione mbi teoria e numrave), analiza dhe fizika matematikore. Ai këshilloi tezat e doktoraturës së disa matematikanëve të rëndësishëm gjermanë, si Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz dhe Carl Wilhelm Borchardt, ndërsa pati ndikim në formimin matematikor të shumë shkencëtarëve të tjerë, duke përfshirë Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Ludwid Heine, Seidel dhe Julius Weingarten. Në Akademinë Ushtarake, Dirichlet arriti të fuste llogaritjet diferenciale dhe integrale në kurrikulë, duke ngritur nivelin e edukimit shkencor atje. Megjithatë, ai gradualisht filloi të ndjente se ngarkesa e tij e dyfishtë e mësimdhënies, në akademinë ushtarake dhe në universitet, po e kufizonte kohën në dispozicion për kërkimin e tij.[2]

Ndërsa ishte në Berlin, Dirichlet mbajti kontakte me matematikanë të tjerë. Në 1829, gjatë një udhëtimi, ai takoi Carl Jacobi, në atë kohë profesor i matematikës në Universitetin Königsberg. Me kalimin e viteve ata vazhduan të takoheshin dhe të korrespondonin për çështje kërkimore, duke u bërë me kalimin e kohës miq të ngushtë. Në 1839, gjatë një vizite në Paris, Dirichlet takoi Joseph Liouville, dy matematikanët u bënë miq, duke mbajtur kontakte dhe madje duke vizituar njëri-tjetrin me familjet disa vjet më vonë. Në 1839, Jacobi i dërgoi Dirichlet-it një letër nga Ernst Kummer, në atë kohë mësues shkolle. Duke kuptuar potencialin e Kummerit, ata e ndihmuan atë të zgjidhej në Akademinë e Berlinit dhe, në 1842, fituan për të një pozicion profesori të plotë në Universitetin e Breslaut. Në 1840 Kummer u martua me Ottilie Mendelssohn, një kushëri i Rebeckës.

Në 1843, kur Jacobi u sëmur, Dirichlet udhëtoi për në Königsberg për ta ndihmuar, më pas mori për të ndihmën e mjekut personal të mbretit Friedrich Wilhelm IV. Kur mjeku rekomandoi që Jacobi të kalonte ca kohë në Itali, Dirichlet iu bashkua atij në udhëtim së bashku me familjen e tij. Ata u shoqëruan në Itali nga Ludwig Schläfli, i cili erdhi si përkthyes; pasi ai ishte shumë i interesuar në matematikë, Dirichlet dhe Jacobi i dhanë leksione atij gjatë udhëtimit, dhe ai më vonë u bë vetë një matematikan i rëndësishëm.[2] Familja Dirichlet e zgjati qëndrimin në Itali deri në 1845, ku lindi vajza e tyre Flora. Në 1844, Jacobi u transferua në Berlin si pensionist mbretëror, miqësia e tyre u bë edhe më e ngushtë. Në 1846, kur Universiteti i Heidelberg u përpoq të rekrutonte Dirichlet, Jacobi i dha von Humboldt mbështetjen e nevojshme për të marrë një dyfishim të pagës së Dirichlet në Universitet në mënyrë që ta mbante atë në Berlin; megjithatë, edhe atëherë nuk i është paguar profesori i rregullt dhe nuk ka mundur të largohet nga Akademia Ushtarake.

Duke pasur pikëpamje liberale, Dirichlet dhe familja e tij mbështetën revolucionin e 1848-ës; madje ruante me pushkë pallatin e Princit të Prusisë. Pasi revolucioni dështoi, Akademia Ushtarake u mbyll përkohësisht, duke i shkaktuar atij një humbje të madhe të të ardhurave. Kur u rihap, mjedisi u bë më armiqësor ndaj tij, pasi oficerët që ai mësonte pritej të ishin besnikë ndaj qeverisë së krijuar. Disa nga shtypi që nuk kishin marrë anën e revolucionit e vunë në dukje atë, si dhe Jacobi dhe profesorë të tjerë liberalë, si "kontigjenti i kuq i stafit".[2]

Në 1849 Dirichlet mori pjesë, së bashku me mikun e tij Jacobi, në jubileun e doktoraturës së Gausit.

Göttingen (1855–1859)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Megjithë ekspertizën e Dirichlet-it dhe nderimet që ai mori, dhe megjithëse, në vitin 1851, ai më në fund kishte plotësuar të gjitha kërkesat formale për një profesor të rregullt, çështja e rritjes së pagës së tij në Universitet ishte ende e zvarritur dhe ai ende nuk ishte në gjendje të linte Akademinë Ushtarake. . Në 1855, pas vdekjes së Gausit, Universiteti i Göttingen vendosi të thërriste Dirichlet si pasardhësin e tij. Duke pasur parasysh vështirësitë e hasura në Berlin, ai vendosi të pranojë ofertën dhe u transferua menjëherë në Göttingen me familjen e tij. Kummer u thirr për të marrë pozicionin e tij si profesor i matematikës në Berlin.[3]

Dirichlet e shijoi kohën e tij në Göttingen, pasi ngarkesa më e lehtë e mësimdhënies i lejoi atij më shumë kohë për kërkime dhe ai ra në kontakt të ngushtë me brezin e ri të studiuesve, veçanërisht me Richard Dedekind dhe Bernhard Riemann. Pasi u transferua në Göttingen ai ishte në gjendje të merrte një pagë të vogël vjetore për Riemann për ta mbajtur atë në stafin mësimor atje. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor dhe Alfred Enneper, megjithëse të gjithë kishin fituar tashmë doktoraturën e tyre, ndoqën klasat e Dirichlet për të studiuar me të. Dedekind, i cili mendonte se kishte boshllëqe në arsimin e tij në matematikë, konsideroi se rasti për të studiuar me Dirichlet e bëri atë "një qenie të re njerëzore".[2] Më vonë ai redaktoi dhe botoi leksionet e Dirichlet-it dhe rezultate të tjera në teorinë e numrave nën titullin Vorlesungen über Zahlentheorie (Leksione mbi Teorinë e Numrave).

Në verën e vitit 1858, gjatë një udhëtimi në Montreux, Dirichlet pësoi një atak në zemër. Më 5 maj 1859, ai vdiq në Göttingen, disa muaj pas vdekjes së gruas së tij Rebecka.[3] Truri i Dirichlet-it ruhet në departamentin e fiziologjisë në Universitetin e Göttingen-it, së bashku me trurin e Gausit. Akademia në Berlin e nderoi atë me një fjalim zyrtar përkujtimor të paraqitur nga Kummer në 1860, dhe më vonë urdhëroi botimin e veprave të tij të mbledhura të redaktuar nga Kronecker dhe Lazarus Fuchs.

Studimet Matematikore[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teoria e Numrave[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teoria e numrave ishte interesi kryesor i kërkimit të Dirichlet-it,[8] një fushë në të cilën ai gjeti disa rezultate të thella dhe në vërtetimin e tyre prezantoi disa mjete themelore, shumë prej të cilave më vonë u emëruan pas tij. Në 1837, teorema e Dirichlet-it mbi progresionet aritmetike, duke përdorur konceptet e analizës matematikore për të trajtuar një problem algjebrik dhe duke krijuar kështu degën e teorisë analitike të numrave. Në vërtetimin e teoremës, ai prezantoi karakteret e Dirichlet dhe funksionet L.[8][9] Gjithashtu, në artikull ai vuri në dukje ndryshimin midis konvergjencës absolute dhe të kushtëzuar të serive dhe ndikimit të saj në atë që më vonë u quajt teorema e serisë Riemann. Në 1841, ai përgjithësoi teoremën e tij të progresioneve aritmetike nga numrat e plotë në unazën e numrave të plotë Gaussian.[2]

Në disa letra në 1838 dhe 1839, ai provoi formulën e numrave të klasës së parë, për format kuadratike (më vonë e rafinuar nga studenti i tij Kronecker). Formula, të cilën Jacobi e quajti një rezultat "duke prekur maksimumin e mprehtësisë njerëzore", hapi rrugën për rezultate të ngjashme në lidhje me fushat më të përgjithshme të numrave.[2] Bazuar në hulumtimin e tij të strukturës së grupit njësi të fushave kuadratike, ai vërtetoi teoremën e njësive të Dirichlet-it, një rezultat themelor në teorinë e numrave algjebrikë.[10]

Ai fillimisht përdori parimin e pëllumbave, një argument bazë numërimi, në vërtetimin e një teoreme në përafrimin diofantine, e cila më vonë u emërua pas tij teorema e përafrimit të Dirichlet-it. Ai botoi kontribute të rëndësishme për Teoremën e Fundit të Fermatit, për të cilën ai vërtetoi rastet n = 5 dhe n = 14, dhe në ligjin e reciprocitetit bikuadratik.[2] Problemi i pjesëtuesit Dirichlet, për të cilin ai gjeti rezultatet e para, është ende një problem i pazgjidhur në teorinë e numrave, pavarësisht nga kontributet e mëvonshme nga matematikanët e tjerë.

Analizat[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dirichlet gjeti dhe vërtetoi kushtet e konvergjencës për zbërthimin e serisë Furier. Në foto: katër përafrimet e para të serisë Furier për një valë katrore.

I frymëzuar nga puna e mentorit të tij në Paris, Dirichlet botoi në 1829 një kujtim të famshëm duke dhënë kushtet, duke treguar se për cilat funksione vlen konvergjenca e serisë Fourier.[11] Përpara zgjidhjes së Dirichlet, jo vetëm Fourier, por edhe Poisson dhe Cauchy ishin përpjekur pa sukses për të gjetur një provë rigoroze të konvergjencës. Kujtimet vuri në dukje gabimin e Cauchy dhe prezantoi testin e Dirichlet për konvergjencën e serive. Ai prezantoi gjithashtu funksionin Dirichlet si një shembull të një funksioni që nuk është i integrueshëm (integrali i caktuar ishte ende një temë në zhvillim në atë kohë) dhe, në vërtetimin e teoremës për serinë Fourier, prezantoi bërthamën e Dirichlet dhe integralin Dirichlet.[12]

Dirichlet studioi gjithashtu problemin e parë të vlerës kufitare, për ekuacionin Laplace, duke vërtetuar uniken e zgjidhjes; ky lloj problemi në teorinë e ekuacioneve diferenciale të pjesshme u quajt më vonë problemi Dirichlet pas tij. Një funksion që plotëson një ekuacion diferencial të pjesshëm që i nënshtrohet kushteve kufitare të Dirichlet-it duhet të ketë vlera fikse në kufi.[8] Në provë ai përdori veçanërisht parimin se zgjidhja është funksioni që minimizon të ashtuquajturën energji Dirichlet. Riemann më vonë e quajti këtë qasje parimi Dirichlet, megjithëse ai e dinte se ishte përdorur gjithashtu nga Gauss dhe nga Lord Kelvin.[2]

Prezantimi i konceptit modern të funksionit[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ndërsa përpiqet të vlerësojë gamën e funksioneve për të cilat mund të tregohet konvergjenca e serisë Fourier, Dirichlet përcakton një funksion nga vetia që "për çdo x korrespondon një y i vetëm i fundëm", por më pas e kufizon vëmendjen e tij në funksionet e vazhdueshme pjesë-pjesë. Bazuar në këtë, atij i njihet merita e prezantimit të konceptit modern për një funksion, në krahasim me kuptimin e vjetër të paqartë të një funksioni si formulë analitike.[2] Imre Lakatos citon Hermann Hankelin si origjinën e hershme të këtij atribuimi, por kundërshton pretendimin duke thënë se "ka prova të shumta që ai nuk e kishte idenë e këtij koncepti për shembull, kur ai diskuton funksionet e vazhdueshme pjesë-pjesë, ai thotë se në pikat e ndërprerjes funksioni ka dy vlera”.[13]

Nderimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dirichlet u zgjodh anëtar i disa akademive:[14]

Në 1855 Dirichlet iu dha medalja e klasës civile të Urdhrit Pour le Mérite me rekomandimin e von Humboldt. Krateri Dirichlet në Hënë dhe asteroidi Dirichlet 11665 janë emëruar pas tij.

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  1. ^ Duden – Das Aussprachewörterbuch: Betonung und Aussprache von über 132.000 Wörtern und Namen [Duden – The Pronouncing Dictionary: accent and pronunciation of more than 132.000 words and names]. Duden - Deutsche Sprache in 12 Bänden (in German). 2015. fq. Vol.6. 312. ISBN 978-3-411-91151-6.. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!); Shiko vlerën e |isbn=: simbol i palejuar (Ndihmë!)
  2. ^ a b c d e f g h i j k l m n Elstrodt, Jürgen. "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF). Clay Mathematics Proceedings. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ a b c James, Ioan Mackenzie. Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge University Press. fq. 103–109. ISBN 978-0-521-52094-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  4. ^ Krantz, Steven (2011). The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof. Springer. fq. 55–58. ISBN 978-0-387-48908-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  5. ^ Goldstein, Cathérine (2007). The shaping of arithmetic: after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Springer. fq. 204–208. ISBN 978-3-540-20441-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  6. ^ Mercer-Taylor, Peter The Life of Mendelssohn. Cambridge 2000 ISBN 978-0-521-63972-9.
  7. ^ Todd, R. Larry Mendelssohn: A Life in Music. Oxford 2003 ISBN 978-0-19-511043-2.
  8. ^ a b c Gowers, Timothy (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. fq. 764–765. ISBN 978-0-691-11880-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  9. ^ Kanemitsu, Shigeru (2002). Number theoretic methods: future trends. Springer. fq. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  10. ^ Kanemitsu, Shigeru (2002). Number theoretic methods: future trends. Springer. fq. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  11. ^ Lejeune Dirichlet (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 4: 157–169. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  12. ^ Bressoud, David M. (2007). A radical approach to real analysis. MAA. fq. 218–227. ISBN 978-0-88385-747-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  13. ^ Lakatos, Imre (1976). Proofs and refutations: the logic of mathematical discovery. Cambridge University Press. fq. 151–152. ISBN 978-0-521-29038-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  14. ^ "Obituary notices of deceased fellows". Proceedings of the Royal Society of London. Taylor and Francis. 10: xxxviii–xxxix. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)